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人気のある微分積分 >

integral of 1/(y^3sqrt(y^2+1))

解

\int \frac{1}{y ^{3} y ^{2} + 1} d y

解

\frac{1}{8} (tan^{2} (\frac{arctan ( y )}{2}) - 4 ln tan (\frac{arctan ( y )}{2}) - cot^{2} (\frac{arctan ( y )}{2})) + C

解答ステップ

\int \frac{1}{y ^{3} y ^{2} + 1} d y

三角関数による置換を適用する

= \int cot^{3} (u) sec (u) d u

三角関数の公式を使用して書き換える

= \int \frac{cos ^{2} ( u )}{sin ^{3} ( u )} d u

u置換積分法を適用する

= \int \frac{( - v ^{2} + 1 ) ^{2}}{4 v ^{3}} d v

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{4} \cdot \int \frac{( - v ^{2} + 1 ) ^{2}}{v ^{3}} d v

拡張

\frac{( - v ^{2} + 1 ) ^{2}}{v ^{3}} : v - \frac{2}{v} + \frac{1}{v ^{3}}

= \frac{1}{4} \cdot \int v - \frac{2}{v} + \frac{1}{v ^{3}} d v

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{4} (\int v d v - \int \frac{2}{v} d v + \int \frac{1}{v ^{3}} d v)

\int v d v = \frac{v ^{2}}{2}

\int \frac{2}{v} d v = 2 ln ∣ v ∣

\int \frac{1}{v ^{3}} d v = - \frac{1}{2 v ^{2}}

= \frac{1}{4} (\frac{v ^{2}}{2} - 2 ln ∣ v ∣ - \frac{1}{2 v ^{2}})

代用を戻す

= \frac{1}{4} \frac{tan ^{2} ( \frac{a r c t a n ( y )}{2} )}{2} - 2 ln tan (\frac{arctan ( y )}{2}) - \frac{1}{2 tan ^{2} ( \frac{a r c t a n ( y )}{2} )}

簡素化

\frac{1}{4} \frac{tan ^{2} ( \frac{a r c t a n ( y )}{2} )}{2} - 2 ln tan (\frac{arctan ( y )}{2}) - \frac{1}{2 tan ^{2} ( \frac{a r c t a n ( y )}{2} )} : \frac{1}{8} (tan^{2} (\frac{arctan ( y )}{2}) - 4 ln tan (\frac{arctan ( y )}{2}) - cot^{2} (\frac{arctan ( y )}{2}))

= \frac{1}{8} (tan^{2} (\frac{arctan ( y )}{2}) - 4 ln tan (\frac{arctan ( y )}{2}) - cot^{2} (\frac{arctan ( y )}{2}))

定数を解答に追加する

= \frac{1}{8} (tan^{2} (\frac{arctan ( y )}{2}) - 4 ln tan (\frac{arctan ( y )}{2}) - cot^{2} (\frac{arctan ( y )}{2})) + C

グラフ

人気の例

integral of (x+1)sqrt(x^2+x+1)

\int (x + 1) x^{2} + x + 1 d x

integral of x+12

\int x + 12 d x

integral of (8x^2+5x+18)/((4x^2+9)^2)

\int \frac{8 x ^{2} + 5 x + 18}{( 4 x ^{2} + 9 ) ^{2}} d x

integral of (ln(t))/(sqrt(t))

\int \frac{ln ( t )}{t} d t

integral of sin(2x)(cos(2x))^4

\int sin (2 x) (cos (2 x))^{4} d x