integral of xe^xcos(x)

解

\int x \cdot e^{x} \cdot cos (x) d x

\frac{1}{2} e^{x} x cos (x) + \frac{1}{2} e^{x} x sin (x) - \frac{1}{2} e^{x} cos (x) + \frac{1}{2} e^{x} cos (x) - \frac{1}{2} e^{x} sin (x) + C

解答ステップ

\int x e^{x} cos (x) d x

部分積分を適用する

= e^{x} x sin (x) - \int (e^{x} x + e^{x}) sin (x) d x

\int (e^{x} x + e^{x}) sin (x) d x = x (- \frac{1}{2} e^{x} cos (x) + \frac{1}{2} e^{x} sin (x)) + \frac{1}{2} e^{x} cos (x) - \frac{e ^{x} cos ( x )}{2} + \frac{e ^{x} sin ( x )}{2}

= e^{x} x sin (x) - (x (- \frac{1}{2} e^{x} cos (x) + \frac{1}{2} e^{x} sin (x)) + \frac{1}{2} e^{x} cos (x) - \frac{e ^{x} cos ( x )}{2} + \frac{e ^{x} sin ( x )}{2})

簡素化

e^{x} x sin (x) - (x (- \frac{1}{2} e^{x} cos (x) + \frac{1}{2} e^{x} sin (x)) + \frac{1}{2} e^{x} cos (x) - \frac{e ^{x} cos ( x )}{2} + \frac{e ^{x} sin ( x )}{2}) : \frac{1}{2} e^{x} x cos (x) + \frac{1}{2} e^{x} x sin (x) - \frac{1}{2} e^{x} cos (x) + \frac{1}{2} e^{x} cos (x) - \frac{1}{2} e^{x} sin (x)

= \frac{1}{2} e^{x} x cos (x) + \frac{1}{2} e^{x} x sin (x) - \frac{1}{2} e^{x} cos (x) + \frac{1}{2} e^{x} cos (x) - \frac{1}{2} e^{x} sin (x)

定数を解答に追加する

= \frac{1}{2} e^{x} x cos (x) + \frac{1}{2} e^{x} x sin (x) - \frac{1}{2} e^{x} cos (x) + \frac{1}{2} e^{x} cos (x) - \frac{1}{2} e^{x} sin (x) + C