integral of (e^x)/(e^{2x)+4e^x-5}

解

\int \frac{e ^{x}}{e ^{2 x} + 4 e ^{x} - 5} d x

\frac{1}{6} ln ∣ e^{x} - 1 ∣ - \frac{1}{6} ln ∣ e^{x} + 5 ∣ + C

解答ステップ

\int \frac{e ^{x}}{e ^{2 x} + 4 e ^{x} - 5} d x

以下の部分分数を得る:

\frac{e ^{x}}{e ^{2 x} + 4 e ^{x} - 5} : \frac{1}{6 ( e ^{x} - 1 )} + \frac{5}{6 ( e ^{x} + 5 )}

= \int \frac{1}{6 ( e ^{x} - 1 )} + \frac{5}{6 ( e ^{x} + 5 )} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{1}{6 ( e ^{x} - 1 )} d x + \int \frac{5}{6 ( e ^{x} + 5 )} d x

\int \frac{1}{6 ( e ^{x} - 1 )} d x = \frac{1}{6} (ln ∣ e^{x} - 1 ∣ - x)

\int \frac{5}{6 ( e ^{x} + 5 )} d x = \frac{1}{6} (x - ln ∣ e^{x} + 5 ∣)

= \frac{1}{6} (ln ∣ e^{x} - 1 ∣ - x) + \frac{1}{6} (x - ln ∣ e^{x} + 5 ∣)

簡素化

\frac{1}{6} (ln ∣ e^{x} - 1 ∣ - x) + \frac{1}{6} (x - ln ∣ e^{x} + 5 ∣) : \frac{1}{6} ln ∣ e^{x} - 1 ∣ - \frac{1}{6} ln ∣ e^{x} + 5 ∣

= \frac{1}{6} ln ∣ e^{x} - 1 ∣ - \frac{1}{6} ln ∣ e^{x} + 5 ∣

定数を解答に追加する

= \frac{1}{6} ln ∣ e^{x} - 1 ∣ - \frac{1}{6} ln ∣ e^{x} + 5 ∣ + C