integral of (3+v)/(1-v^2)

解

\int \frac{3 + v}{1 - v ^{2}} d v

3 (\frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2}) - \frac{1}{2} ln 1 - v^{2} + C

解答ステップ

\int \frac{3 + v}{1 - v ^{2}} d v

拡張

\frac{3 + v}{1 - v ^{2}} : \frac{3}{1 - v ^{2}} + \frac{v}{1 - v ^{2}}

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{3}{1 - v ^{2}} d v + \int \frac{v}{1 - v ^{2}} d v

\int \frac{3}{1 - v ^{2}} d v = 3 (\frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2})

\int \frac{v}{1 - v ^{2}} d v = - \frac{1}{2} ln 1 - v^{2}

= 3 (\frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2}) - \frac{1}{2} ln 1 - v^{2}

定数を解答に追加する

= 3 (\frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2}) - \frac{1}{2} ln 1 - v^{2} + C