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人気のある微分積分 >

integral of (1+x)/(sqrt((x^2-2x-3)^3))

解

\int \frac{1 + x}{( x ^{2} - 2 x - 3 ) ^{3}} d x

解

- \frac{1}{x ^{2} - 2 x - 3} - \frac{x - 1}{2 x ^{2} - 2 x - 3} + C

解答ステップ

\int \frac{1 + x}{( x ^{2} - 2 x - 3 ) ^{3}} d x

平方完成する

x^{2} - 2 x - 3 : (x - 1)^{2} - 4

= \int \frac{1 + x}{( ( x - 1 ) ^{2} - 4 ) ^{3}} d x

u置換積分法を適用する

= \int \frac{u + 2}{( u ^{2} - 4 ) ^{\frac{3}{2}}} d u

拡張

\frac{u + 2}{( u ^{2} - 4 ) ^{\frac{3}{2}}} : \frac{u}{( u ^{2} - 4 ) ^{\frac{3}{2}}} + \frac{2}{( u ^{2} - 4 ) ^{\frac{3}{2}}}

= \int \frac{u}{( u ^{2} - 4 ) ^{\frac{3}{2}}} + \frac{2}{( u ^{2} - 4 ) ^{\frac{3}{2}}} d u

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{u}{( u ^{2} - 4 ) ^{\frac{3}{2}}} d u + \int \frac{2}{( u ^{2} - 4 ) ^{\frac{3}{2}}} d u

\int \frac{u}{( u ^{2} - 4 ) ^{\frac{3}{2}}} d u = - \frac{1}{u ^{2} - 4}

\int \frac{2}{( u ^{2} - 4 ) ^{\frac{3}{2}}} d u = - \frac{u}{2 u ^{2} - 4}

= - \frac{1}{u ^{2} - 4} - \frac{u}{2 u ^{2} - 4}

代用を戻す

u = x - 1

= - \frac{1}{( x - 1 ) ^{2} - 4} - \frac{x - 1}{2 ( x - 1 ) ^{2} - 4}

簡素化

- \frac{1}{( x - 1 ) ^{2} - 4} - \frac{x - 1}{2 ( x - 1 ) ^{2} - 4} : - \frac{1}{x ^{2} - 2 x - 3} - \frac{x - 1}{2 x ^{2} - 2 x - 3}

= - \frac{1}{x ^{2} - 2 x - 3} - \frac{x - 1}{2 x ^{2} - 2 x - 3}

定数を解答に追加する

= - \frac{1}{x ^{2} - 2 x - 3} - \frac{x - 1}{2 x ^{2} - 2 x - 3} + C

グラフ

人気の例

integral of csc^2(1/2 x)

\int csc^{2} (\frac{1}{2} x) d x

integral of (cos(x))/(1+cos^2(x))

\int \frac{cos ( x )}{1 + cos ^{2} ( x )} d x

integral of (3x^2+1)^2

\int (3 x^{2} + 1)^{2} d x

integral of x/((3x^2-1)^3)

\int \frac{x}{( 3 x ^{2} - 1 ) ^{3}} d x

integral of (x-5)/((x-5)^2+1)

\int \frac{x - 5}{( x - 5 ) ^{2} + 1} d x