integral of csc^2(1/2 x)

Lösung

\int csc^{2} (\frac{1}{2} x) d x

- 2 cot (\frac{x}{2}) + C

Schritte zur Lösung

\int csc^{2} (\frac{1}{2} x) d x

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int \frac{1}{sin ^{2} ( \frac{x}{2} )} d x

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{1}{sin ( x )} = csc (x)

= \int csc^{2} (\frac{x}{2}) d x

Wende U-Substitution an

= \int csc^{2} (u) \cdot 2 d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int csc^{2} (u) d u

Nutze das gemeinsame Integral :

\int csc^{2} (u) d u = - cot (u)

= 2 (- cot (u))

Setze in

u = \frac{x}{2}

ein

= 2 (- cot (\frac{x}{2}))

Vereinfache

= - 2 cot (\frac{x}{2})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - 2 cot (\frac{x}{2}) + C

\int \frac{cos ( x )}{1 + cos ^{2} ( x )} d x

\int (3 x^{2} + 1)^{2} d x

\int \frac{x}{( 3 x ^{2} - 1 ) ^{3}} d x

\int \frac{x - 5}{( x - 5 ) ^{2} + 1} d x

\int (x^{2} + \frac{1}{4}) x d x