integral of (4x^2)/((x^2-9)^{3/2)}

Lösung

\int \frac{4 x ^{2}}{( x ^{2} - 9 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

4 (- \frac{x}{( x ^{2} - 9 ) ^{\frac{1}{2}}} + ln (\frac{1}{3} (x^{2} - 9)^{\frac{1}{2}} + x)) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{4 x ^{2}}{( x ^{2} - 9 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \int \frac{x ^{2}}{( x ^{2} - 9 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= 4 \cdot \int sec^{3} (u) cot^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 4 \cdot \int \frac{csc ^{2} ( u )}{cos ( u )} d u

Wende die partielle Integration an

= 4 (- csc (u) - \int - sec (u) d u)

\int - sec (u) d u = - ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣

= 4 (- csc (u) - (- ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣))

Setze in

u = arcsec (\frac{1}{3} x)

ein

= 4 (- csc (arcsec (\frac{1}{3} x)) - (- ln tan (arcsec (\frac{1}{3} x)) + sec (arcsec (\frac{1}{3} x))))

Vereinfache

4 (- csc (arcsec (\frac{1}{3} x)) - (- ln tan (arcsec (\frac{1}{3} x)) + sec (arcsec (\frac{1}{3} x)))) : 4 (- \frac{x}{( x ^{2} - 9 ) ^{\frac{1}{2}}} + ln (\frac{1}{3} (x^{2} - 9)^{\frac{1}{2}} + x))

= 4 (- \frac{x}{( x ^{2} - 9 ) ^{\frac{1}{2}}} + ln (\frac{1}{3} (x^{2} - 9)^{\frac{1}{2}} + x))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 4 (- \frac{x}{( x ^{2} - 9 ) ^{\frac{1}{2}}} + ln (\frac{1}{3} (x^{2} - 9)^{\frac{1}{2}} + x)) + C

\int \frac{e ^{- x}}{e ^{- 2 x} + 1} d x

\int \frac{x ^{2} - 2 x + 3}{x} d x

\int \frac{9}{2 - 3 x} d x

\int \frac{1 + tan ( x )}{sec ( x )} d x

\int e^{t^{2}} t d t