integral of 1/((9x^2+4)^{3/2)}

Lösung

\int \frac{1}{( 9 x ^{2} + 4 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

\frac{x}{4 ( 9 x ^{2} + 4 ) ^{\frac{1}{2}}} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{( 9 x ^{2} + 4 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int \frac{1}{12 sec ( u )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{12} \cdot \int \frac{1}{sec ( u )} d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{12} \cdot \int cos (u) d u

Nutze das gemeinsame Integral :

\int cos (u) d u = sin (u)

= \frac{1}{12} sin (u)

Setze in

u = arctan (\frac{3}{2} x)

ein

= \frac{1}{12} sin (arctan (\frac{3}{2} x))

Vereinfache

\frac{1}{12} sin (arctan (\frac{3}{2} x)) : \frac{x}{4 ( 9 x ^{2} + 4 ) ^{\frac{1}{2}}}

= \frac{x}{4 ( 9 x ^{2} + 4 ) ^{\frac{1}{2}}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{x}{4 ( 9 x ^{2} + 4 ) ^{\frac{1}{2}}} + C

\int - \frac{1}{x 49 x ^{2} - 25} d x

\int \frac{x ^{3} + x + 2}{x ( x ^{2} + 1 ) ^{2}} d x

\int \frac{1}{e ^{x} + e ^{x}} d x

\int (2 - x) e^{- x} d x

\int ln ((5 x)^{2}) d x