integral of (sin(x)-cos(x))e^{-x}

解答

\int (sin (x) - cos (x)) e^{- x} d x

- e^{- x} sin (x) + C

求解步骤

\int (sin (x) - cos (x)) e^{- x} d x

使用换元积分法

= \int cos (ln (u)) + sin (ln (u)) d u

使用分布积分法

= u (cos (ln (u)) + sin (ln (u))) - \int - sin (ln (u)) + cos (ln (u)) d u

\int - sin (ln (u)) + cos (ln (u)) d u = u cos (ln (u))

= u (cos (ln (u)) + sin (ln (u))) - u cos (ln (u))

u = e^{- x}

代回

= e^{- x} (cos (ln (e^{- x})) + sin (ln (e^{- x}))) - e^{- x} cos (ln (e^{- x}))

化简

e^{- x} (cos (ln (e^{- x})) + sin (ln (e^{- x}))) - e^{- x} cos (ln (e^{- x})) : - e^{- x} sin (x)

= - e^{- x} sin (x)

解答补常数

= - e^{- x} sin (x) + C

\int \frac{2}{3 - x} d x

\int \frac{5}{x ln ( x ^{2} )} d x

\int (3 x^{3} + 1)^{2} \cdot 3 x^{7} d x

\int \frac{6 x ^{3} - 9 x + 7}{x ^{3} - x ^{2}} d x

\int \frac{x + 7}{x} d x