integral of sin(3θ)sin(5θ)

解答

\int sin (3 θ) sin (5 θ) d θ

\frac{1}{2} (\frac{1}{2} sin (2 θ) - \frac{1}{8} sin (8 θ)) + C

求解步骤

\int sin (3 θ) sin (5 θ) d θ

使用三角恒等式改写

= \int \frac{1}{2} (- cos (8 θ) + cos (- 2 θ)) d θ

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int - cos (8 θ) + cos (- 2 θ) d θ

化简

- cos (8 θ) + cos (- 2 θ) : cos (2 θ) - cos (8 θ)

= \frac{1}{2} \cdot \int cos (2 θ) - cos (8 θ) d θ

使用积分加法定则:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} (\int cos (2 θ) d θ - \int cos (8 θ) d θ)

\int cos (2 θ) d θ = \frac{1}{2} sin (2 θ)

\int cos (8 θ) d θ = \frac{1}{8} sin (8 θ)

= \frac{1}{2} (\frac{1}{2} sin (2 θ) - \frac{1}{8} sin (8 θ))

解答补常数

= \frac{1}{2} (\frac{1}{2} sin (2 θ) - \frac{1}{8} sin (8 θ)) + C

\int \frac{1}{2} - \frac{1}{2} cos (2 x) d x

\int \frac{5 1 - 2 x + x ^{2}}{1 - x} d x

\int 100 e^{x} d x

\int (x^{- 2} - x^{- 1} + 2) d x

\int 8 - 4 x d x