integral of (xe^{-x})/((1+e^{-x))^2}

Lösung

\int \frac{x e ^{- x}}{( 1 + e ^{- x} ) ^{2}} d x

\frac{x}{1 + e ^{- x}} - x - ln e^{- x} + 1 + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{x e ^{- x}}{( 1 + e ^{- x} ) ^{2}} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{ln ( u )}{( 1 + u ) ^{2}} d u

Wende die partielle Integration an

= - \frac{ln ( u )}{1 + u} - \int - \frac{1}{u ( 1 + u )} d u

\int - \frac{1}{u ( 1 + u )} d u = - ln ∣ u ∣ + ln ∣ u + 1 ∣

= - \frac{ln ( u )}{1 + u} - (- ln ∣ u ∣ + ln ∣ u + 1 ∣)

Setze in

u = e^{- x}

ein

= - \frac{ln ( e ^{- x} )}{1 + e ^{- x}} - (- ln e^{- x} + ln e^{- x} + 1)

Vereinfache

- \frac{ln ( e ^{- x} )}{1 + e ^{- x}} - (- ln e^{- x} + ln e^{- x} + 1) : \frac{x}{1 + e ^{- x}} - x - ln e^{- x} + 1

= \frac{x}{1 + e ^{- x}} - x - ln e^{- x} + 1

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{x}{1 + e ^{- x}} - x - ln e^{- x} + 1 + C

\int \frac{1}{x 5 x ^{2} - 4} d x

\int \frac{5 e ^{4 x}}{e ^{4 x} + 3} d x

\int \frac{1}{x \cdot ln ( x ) ln ( ln ( x ) )} d x

\int \frac{2 t ^{3} - t ^{2} + 2 t + 4}{1 + t ^{2}} d t

\int arccos (x) d x