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integral of x/(x^4+2x^2+5)

Lösung

\int \frac{x}{x ^{4} + 2 x ^{2} + 5} d x

\frac{1}{2 7} arctan (\frac{x ^{2}}{7}) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{x}{x ^{4} + 2 x ^{2} + 5} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1}{4 u ( 2 u + u + 5 )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{4} \cdot \int \frac{1}{u ( 2 u + u + 5 )} d u

Wende Exponentenregel an:

\frac{1}{a ^{b}} = a^{- b}

\frac{1}{u ( 2 u + u + 5 )} = u^{- \frac{1}{2}} \frac{1}{( 2 + u + 5 )}

= \frac{1}{4} \cdot \int u^{- \frac{1}{2}} \frac{1}{2 + u + 5} d u

Vereinfache

u^{- \frac{1}{2}} \frac{1}{2 + u + 5} : \frac{1}{u ( u + 7 )}

= \frac{1}{4} \cdot \int \frac{1}{u ( u + 7 )} d u

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{4} \cdot \int \frac{2}{v ^{2} + 7} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{4} \cdot 2 \cdot \int \frac{1}{v ^{2} + 7} d v

Wende integrale Substitution an

= \frac{1}{4} \cdot 2 \cdot \int \frac{1}{7 ( w ^{2} + 1 )} d w

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{4} \cdot 2 \cdot \frac{1}{7} \cdot \int \frac{1}{w ^{2} + 1} d w

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{w ^{2} + 1} d w = arctan (w)

= \frac{1}{4} \cdot 2 \cdot \frac{1}{7} arctan (w)

Ersetze zurück

= \frac{1}{4} \cdot 2 \cdot \frac{1}{7} arctan (\frac{x ^{4}}{7})

Vereinfache

\frac{1}{4} \cdot 2 \cdot \frac{1}{7} arctan (\frac{x ^{4}}{7}) : \frac{1}{2 7} arctan (\frac{x ^{2}}{7})

= \frac{1}{2 7} arctan (\frac{x ^{2}}{7})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{2 7} arctan (\frac{x ^{2}}{7}) + C

\int \frac{1}{1 - \frac{x ^{2}}{100}} d x

\int x (1 - x^{2})^{\frac{1}{2}} d x

\int 2 x + sin (x) + C d x

\int \frac{3}{( x + 1 ) ( x - 2 )} d x

\int \frac{x ^{4} + x}{x} d x