integral of cot^3(x/2)csc^4(x/2)

Lösung

\int cot^{3} (\frac{x}{2}) csc^{4} (\frac{x}{2}) d x

2 (- \frac{1}{6} csc^{6} (\frac{x}{2}) + \frac{1}{4} csc^{4} (\frac{x}{2})) + C

Schritte zur Lösung

\int cot^{3} (\frac{x}{2}) csc^{4} (\frac{x}{2}) d x

Wende U-Substitution an

= \int cot^{3} (u) csc^{4} (u) \cdot 2 d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int cot^{3} (u) csc^{4} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 2 \cdot \int \frac{( 1 - sin ^{2} ( u ) ) cos ( u )}{sin ^{7} ( u )} d u

Wende U-Substitution an

= 2 \cdot \int \frac{1 - v ^{2}}{v ^{7}} d v

Multipliziere aus

\frac{1 - v ^{2}}{v ^{7}} : \frac{1}{v ^{7}} - \frac{1}{v ^{5}}

= 2 \cdot \int \frac{1}{v ^{7}} - \frac{1}{v ^{5}} d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2 (\int \frac{1}{v ^{7}} d v - \int \frac{1}{v ^{5}} d v)

\int \frac{1}{v ^{7}} d v = - \frac{1}{6 v ^{6}}

\int \frac{1}{v ^{5}} d v = - \frac{1}{4 v ^{4}}

= 2 (- \frac{1}{6 v ^{6}} - (- \frac{1}{4 v ^{4}}))

Ersetze zurück

= 2 (- \frac{1}{6 sin ^{6} ( \frac{x}{2} )} - (- \frac{1}{4 sin ^{4} ( \frac{x}{2} )}))

Vereinfache

2 (- \frac{1}{6 sin ^{6} ( \frac{x}{2} )} - (- \frac{1}{4 sin ^{4} ( \frac{x}{2} )})) : 2 (- \frac{1}{6} csc^{6} (\frac{x}{2}) + \frac{1}{4} csc^{4} (\frac{x}{2}))

= 2 (- \frac{1}{6} csc^{6} (\frac{x}{2}) + \frac{1}{4} csc^{4} (\frac{x}{2}))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 2 (- \frac{1}{6} csc^{6} (\frac{x}{2}) + \frac{1}{4} csc^{4} (\frac{x}{2})) + C

\int (sin (2 x))^{3} d x

\int (\frac{1}{x ^{3} + 1}) d x

\int (3 x^{3} + (2 x - 3)^{2}) d x

\frac{d ^{2}}{d x ^{2}} (e^{6 e^{x}})

\int cos^{2} (x s i) n^{2} x d x