integral of (sin(2x))^3

Lösung

\int (sin (2 x))^{3} d x

8 (- \frac{cos ^{4} ( x )}{4} + \frac{cos ^{6} ( x )}{6}) + C

Schritte zur Lösung

\int (sin (2 x))^{3} d x

Vereinfache

= \int sin^{3} (2 x) d x

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int 8 cos^{3} (x) sin^{3} (x) d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 8 \cdot \int cos^{3} (x) sin^{3} (x) d x

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 8 \cdot \int (1 - cos^{2} (x)) sin (x) cos^{3} (x) d x

Wende U-Substitution an

= 8 \cdot \int - u^{3} (1 - u^{2}) d u

Multipliziere aus

- u^{3} (1 - u^{2}) : - u^{3} + u^{5}

= 8 \cdot \int - u^{3} + u^{5} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 8 (- \int u^{3} d u + \int u^{5} d u)

\int u^{3} d u = \frac{u ^{4}}{4}

\int u^{5} d u = \frac{u ^{6}}{6}

= 8 (- \frac{u ^{4}}{4} + \frac{u ^{6}}{6})

Setze in

u = cos (x)

ein

= 8 (- \frac{cos ^{4} ( x )}{4} + \frac{cos ^{6} ( x )}{6})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 8 (- \frac{cos ^{4} ( x )}{4} + \frac{cos ^{6} ( x )}{6}) + C

\int (\frac{1}{x ^{3} + 1}) d x

\int (3 x^{3} + (2 x - 3)^{2}) d x

\frac{d ^{2}}{d x ^{2}} (e^{6 e^{x}})

\int cos^{2} (x s i) n^{2} x d x

in v erse l a pl a ce \frac{1960}{s ^{2} + 196}