integral of 1/(x(x^2+2))

Lösung

\int \frac{1}{x ( x ^{2} + 2 )} d x

- \frac{1}{4} (ln x^{2} + 2 - 2 ln (x)) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{x ( x ^{2} + 2 )} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1}{2 ( u - 2 ) u} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{( u - 2 ) u} d u

Vervollständige das Quadrat

(u - 2) u : (u - 1)^{2} - 1

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{( u - 1 ) ^{2} - 1} d u

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{v ^{2} - 1} d v

Faktorisiere

v^{2} - 1 : - (- v^{2} + 1)

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{- ( - v ^{2} + 1 )} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} (- \int \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v)

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v = \frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2}

= \frac{1}{2} (- (\frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2}))

Ersetze zurück

= \frac{1}{2} (- (\frac{ln x ^{2} + 2 - 1 + 1}{2} - \frac{ln x ^{2} + 2 - 1 - 1}{2}))

Vereinfache

\frac{1}{2} (- (\frac{ln x ^{2} + 2 - 1 + 1}{2} - \frac{ln x ^{2} + 2 - 1 - 1}{2})) : - \frac{1}{4} (ln x^{2} + 2 - 2 ln (x))

= - \frac{1}{4} (ln x^{2} + 2 - 2 ln (x))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{1}{4} (ln x^{2} + 2 - 2 ln (x)) + C

\int x cos^{2} (5 x) d x

x \to - 3 + lim (\frac{x ^{3}}{x ^{2} - 9})

d er i v a t i v e y = tan (e^{x})

\int_{3}^{4} x^{2} d x

\frac{d}{d x} (\frac{5 x + 1}{2 x})