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integral of sqrt(4-4x^2)

Lösung

\int 4 - 4 x^{2} d x

arcsin (x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (x)) + C

Schritte zur Lösung

\int 4 - 4 x^{2} d x

4 - 4 x^{2} = 4 (1 - \frac{4 x ^{2}}{4})

= \int 4 (1 - \frac{4 x ^{2}}{4}) d x

Vereinfache

4 (1 - \frac{4 x ^{2}}{4}) : 2 1 - x^{2}

= \int 2 1 - x^{2} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int 1 - x^{2} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= 2 \cdot \int cos^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 2 \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 u )}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d u + \int cos (2 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (2 u) d u = \frac{1}{2} sin (2 u)

= 2 \cdot \frac{1}{2} (u + \frac{1}{2} sin (2 u))

Setze in

u = arcsin (x)

ein

= 2 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (x)))

Vereinfache

2 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (x))) : arcsin (x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (x))

= arcsin (x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (x))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= arcsin (x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (x)) + C

d er i v a t i v e 2 x^{4}

\frac{d}{d x} (\frac{x ^{3}}{8})

\frac{\partial}{\partial x} (ln (a x))

\int (\frac{1}{x} - \frac{3}{4 x ^{2} + 1}) d x

s im pl i f y \frac{2}{x} - x^{2} + 1