integral of (2tan(x))/(1-tan^2(x))

解

\int \frac{2 tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )} d x

- \frac{1}{2} ln ∣ cos (2 x) ∣ + C

解答ステップ

\int \frac{2 tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )} d x

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )} d x

三角関数の公式を使用して書き換える

= 2 \cdot \int \frac{sin ( x ) cos ( x )}{cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )} d x

部分積分を適用する

= 2 (x cos (x) sin (x) sec (2 x) - \int x sec^{2} (2 x) d x)

\int x sec^{2} (2 x) d x = \frac{1}{2} x tan (2 x) + \frac{1}{4} ln ∣ cos (2 x) ∣

= 2 (x cos (x) sin (x) sec (2 x) - (\frac{1}{2} x tan (2 x) + \frac{1}{4} ln ∣ cos (2 x) ∣))

簡素化

2 (x cos (x) sin (x) sec (2 x) - (\frac{1}{2} x tan (2 x) + \frac{1}{4} ln ∣ cos (2 x) ∣)) : - \frac{1}{2} ln ∣ cos (2 x) ∣

= - \frac{1}{2} ln ∣ cos (2 x) ∣

定数を解答に追加する

= - \frac{1}{2} ln ∣ cos (2 x) ∣ + C