integral of cos^2(z)sin^4(z)

解

\int cos^{2} (z) sin^{4} (z) d z

\frac{3}{8} z - \frac{1}{24} sin^{3} (z) cos (z) - \frac{3}{16} sin (2 z) + \frac{1}{6} sin^{5} (z) cos (z) - \frac{5}{32} (2 z - sin (2 z)) + C

解答ステップ

\int cos^{2} (z) sin^{4} (z) d z

三角関数の公式を使用して書き換える

= \int (1 - sin^{2} (z)) sin^{4} (z) d z

拡張

(1 - sin^{2} (z)) sin^{4} (z) : sin^{4} (z) - sin^{6} (z)

= \int sin^{4} (z) - sin^{6} (z) d z

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int sin^{4} (z) d z - \int sin^{6} (z) d z

\int sin^{4} (z) d z = - \frac{1}{4} sin^{3} (z) cos (z) + \frac{3}{8} (z - \frac{1}{2} sin (2 z))

\int sin^{6} (z) d z = - \frac{cos ( z ) sin ^{5} ( z )}{6} + \frac{5}{6} (- \frac{1}{4} sin^{3} (z) cos (z) + \frac{3}{8} (z - \frac{1}{2} sin (2 z)))

= - \frac{1}{4} sin^{3} (z) cos (z) + \frac{3}{8} (z - \frac{1}{2} sin (2 z)) - (- \frac{cos ( z ) sin ^{5} ( z )}{6} + \frac{5}{6} (- \frac{1}{4} sin^{3} (z) cos (z) + \frac{3}{8} (z - \frac{1}{2} sin (2 z))))

簡素化

- \frac{1}{4} sin^{3} (z) cos (z) + \frac{3}{8} (z - \frac{1}{2} sin (2 z)) - (- \frac{cos ( z ) sin ^{5} ( z )}{6} + \frac{5}{6} (- \frac{1}{4} sin^{3} (z) cos (z) + \frac{3}{8} (z - \frac{1}{2} sin (2 z)))) : \frac{3}{8} z - \frac{1}{24} sin^{3} (z) cos (z) - \frac{3}{16} sin (2 z) + \frac{1}{6} sin^{5} (z) cos (z) - \frac{5}{32} (2 z - sin (2 z))

= \frac{3}{8} z - \frac{1}{24} sin^{3} (z) cos (z) - \frac{3}{16} sin (2 z) + \frac{1}{6} sin^{5} (z) cos (z) - \frac{5}{32} (2 z - sin (2 z))

定数を解答に追加する

= \frac{3}{8} z - \frac{1}{24} sin^{3} (z) cos (z) - \frac{3}{16} sin (2 z) + \frac{1}{6} sin^{5} (z) cos (z) - \frac{5}{32} (2 z - sin (2 z)) + C