integral of sqrt(4x-y^2)

Lösung

\int 4 x - y^{2} d y

2 x arcsin (\frac{y}{2 x}) + x sin (2 arcsin (\frac{y}{2 x})) + C

Schritte zur Lösung

\int 4 x - y^{2} d y

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int 4 x cos^{2} (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 x \cdot \int cos^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 4 x \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 u )}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 x \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 4 x \frac{1}{2} (\int 1 d u + \int cos (2 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (2 u) d u = \frac{1}{2} sin (2 u)

= 4 x \frac{1}{2} (u + \frac{1}{2} sin (2 u))

Setze in

u = arcsin (\frac{1}{2 x} y)

ein

= 4 x \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{2 x} y) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{2 x} y)))

Vereinfache

4 x \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{2 x} y) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{2 x} y))) : 2 x arcsin (\frac{y}{2 x}) + x sin (2 arcsin (\frac{y}{2 x}))

= 2 x arcsin (\frac{y}{2 x}) + x sin (2 arcsin (\frac{y}{2 x}))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 2 x arcsin (\frac{y}{2 x}) + x sin (2 arcsin (\frac{y}{2 x})) + C

\int_{1}^{3} \frac{1}{x ^{2}} d x

\int (\frac{1}{z} - \frac{x}{y ^{2}}) d y

\frac{d}{d x} (arctan (x - 3))

d er i v a t i v e (2 q^{2} - 3)^{6} (5 q + 4)^{3}

in v erse l a pl a ce \frac{2}{s \cdot ( s ^{2} + 4 s + 8 )}