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integral of sqrt(r^2-x^2)

解

\int r^{2} - x^{2} d x

解

\frac{1}{2} r^{2} (arcsin (\frac{x}{r}) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{x}{r}))) + C

解答ステップ

\int r^{2} - x^{2} d x

三角関数による置換を適用する

= \int r^{2} cos^{2} (u) d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= r^{2} \cdot \int cos^{2} (u) d u

三角関数の公式を使用して書き換える

= r^{2} \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 u )}{2} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= r^{2} \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 u) d u

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= r^{2} \frac{1}{2} (\int 1 d u + \int cos (2 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (2 u) d u = \frac{1}{2} sin (2 u)

= r^{2} \frac{1}{2} (u + \frac{1}{2} sin (2 u))

代用を戻す

u = arcsin (\frac{1}{r} x)

= r^{2} \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{r} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{r} x)))

簡素化

r^{2} \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{r} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{r} x))) : \frac{1}{2} r^{2} (arcsin (\frac{x}{r}) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{x}{r})))

= \frac{1}{2} r^{2} (arcsin (\frac{x}{r}) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{x}{r})))

定数を解答に追加する

= \frac{1}{2} r^{2} (arcsin (\frac{x}{r}) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{x}{r}))) + C

グラフ

人気の例

\frac{d y}{d x} = 6 - x

tangent f(x)=2x^2-10x+9,(2,-3)

t an g e n t f (x) = 2 x^{2} - 10 x + 9, (2, - 3)

(x^2+y^2)dx+2xydy=0

(x^{2} + y^{2}) d x + 2 x y d y = 0

sum from n=1 to infinity of (5n)/(n^2+2)

n = 1 \sum \infty \frac{5 n}{n ^{2} + 2}

derivative of sqrt(x^3)-1/(x^7)

\frac{d}{d x} (x^{3} - \frac{1}{x ^{7}})