inverselaplace 1/((s^2+2s+2)(s^2+9))

解

逆ラプラス

\frac{1}{( s ^{2} + 2 s + 2 ) ( s ^{2} + 9 )}

\frac{2}{85} e^{- t} cos (t) + \frac{9}{85} e^{- t} sin (t) - \frac{2}{85} cos (3 t) - \frac{7}{255} sin (3 t)

解答ステップ

L^{- 1} {\frac{1}{( s ^{2} + 2 s + 2 ) ( s ^{2} + 9 )}}

以下の部分分数を得る:

\frac{1}{( s ^{2} + 2 s + 2 ) ( s ^{2} + 9 )} : \frac{2 s + 11}{85 ( s ^{2} + 2 s + 2 )} + \frac{- 2 s - 7}{85 ( s ^{2} + 9 )}

= L^{- 1} {\frac{2 s + 11}{85 ( s ^{2} + 2 s + 2 )} + \frac{- 2 s - 7}{85 ( s ^{2} + 9 )}}

拡張

\frac{2 s + 11}{85 ( s ^{2} + 2 s + 2 )} : \frac{2}{85} \cdot \frac{s + 1}{( s + 1 ) ^{2} + 1} + \frac{9}{85} \cdot \frac{1}{( s + 1 ) ^{2} + 1}

= L^{- 1} {\frac{2}{85} \cdot \frac{s + 1}{( s + 1 ) ^{2} + 1} + \frac{9}{85} \cdot \frac{1}{( s + 1 ) ^{2} + 1} + \frac{- 2 s - 7}{85 ( s ^{2} + 9 )}}

拡張

= L^{- 1} {- \frac{2 s}{85 ( s ^{2} + 9 )} + \frac{2}{85} \cdot \frac{s + 1}{( s + 1 ) ^{2} + 1} + \frac{9}{85} \cdot \frac{1}{( s + 1 ) ^{2} + 1} - \frac{7}{85 ( s ^{2} + 9 )}}

逆ラプラス変換の線形性を使用する:

関数

f (s), g (s)

と定数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= \frac{2}{85} L^{- 1} {\frac{s + 1}{( s + 1 ) ^{2} + 1}} + \frac{9}{85} L^{- 1} {\frac{1}{( s + 1 ) ^{2} + 1}} - \frac{2}{85} L^{- 1} {\frac{s}{s ^{2} + 9}} - \frac{7}{85} L^{- 1} {\frac{1}{s ^{2} + 9}}

L^{- 1} {\frac{s + 1}{( s + 1 ) ^{2} + 1}} : e^{- t} cos (t)

L^{- 1} {\frac{1}{( s + 1 ) ^{2} + 1}} : e^{- t} sin (t)

L^{- 1} {\frac{s}{s ^{2} + 9}} : cos (3 t)

L^{- 1} {\frac{1}{s ^{2} + 9}} : \frac{1}{3} sin (3 t)

= \frac{2}{85} e^{- t} cos (t) + \frac{9}{85} e^{- t} sin (t) - \frac{2}{85} cos (3 t) - \frac{7}{85} \cdot \frac{1}{3} sin (3 t)

改良

\frac{2}{85} e^{- t} cos (t) + \frac{9}{85} e^{- t} sin (t) - \frac{2}{85} cos (3 t) - \frac{7}{85} \frac{1}{3} sin (3 t) : \frac{2}{85} e^{- t} cos (t) + \frac{9}{85} e^{- t} sin (t) - \frac{2}{85} cos (3 t) - \frac{7}{255} sin (3 t)

= \frac{2}{85} e^{- t} cos (t) + \frac{9}{85} e^{- t} sin (t) - \frac{2}{85} cos (3 t) - \frac{7}{255} sin (3 t)