integral of (5x^2-10x-8)/(x^3-4x)

解

\int \frac{5 x ^{2} - 10 x - 8}{x ^{3} - 4 x} d x

\frac{5}{2} ln (∣ x + 2 ∣ ∣ x - 2 ∣) + \frac{5}{2} ln \frac{x}{2} + 1 - \frac{5}{2} ln \frac{x}{2} - 1 + 2 ln ∣ x ∣ - ln ∣ x + 2 ∣ - ln ∣ x - 2 ∣ + C

解答ステップ

\int \frac{5 x ^{2} - 10 x - 8}{x ^{3} - 4 x} d x

拡張

\frac{5 x ^{2} - 10 x - 8}{x ^{3} - 4 x} : \frac{5 x ^{2}}{x ^{3} - 4 x} - \frac{10 x}{x ^{3} - 4 x} - \frac{8}{x ^{3} - 4 x}

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{5 x ^{2}}{x ^{3} - 4 x} d x - \int \frac{10 x}{x ^{3} - 4 x} d x - \int \frac{8}{x ^{3} - 4 x} d x

\int \frac{5 x ^{2}}{x ^{3} - 4 x} d x = \frac{5}{2} ln (∣ x + 2 ∣ ∣ x - 2 ∣)

\int \frac{10 x}{x ^{3} - 4 x} d x = - 5 (\frac{1}{2} ln \frac{x}{2} + 1 - \frac{1}{2} ln \frac{x}{2} - 1)

\int \frac{8}{x ^{3} - 4 x} d x = - 2 ln ∣ x ∣ + ln ∣ x + 2 ∣ + ln ∣ x - 2 ∣

= \frac{5}{2} ln (∣ x + 2 ∣ ∣ x - 2 ∣) - (- 5 (\frac{1}{2} ln \frac{x}{2} + 1 - \frac{1}{2} ln \frac{x}{2} - 1)) - (- 2 ln ∣ x ∣ + ln ∣ x + 2 ∣ + ln ∣ x - 2 ∣)

簡素化

\frac{5}{2} ln (∣ x + 2 ∣ ∣ x - 2 ∣) - (- 5 (\frac{1}{2} ln \frac{x}{2} + 1 - \frac{1}{2} ln \frac{x}{2} - 1)) - (- 2 ln ∣ x ∣ + ln ∣ x + 2 ∣ + ln ∣ x - 2 ∣) : \frac{5}{2} ln (∣ x + 2 ∣ ∣ x - 2 ∣) + \frac{5}{2} ln \frac{x}{2} + 1 - \frac{5}{2} ln \frac{x}{2} - 1 + 2 ln ∣ x ∣ - ln ∣ x + 2 ∣ - ln ∣ x - 2 ∣

= \frac{5}{2} ln (∣ x + 2 ∣ ∣ x - 2 ∣) + \frac{5}{2} ln \frac{x}{2} + 1 - \frac{5}{2} ln \frac{x}{2} - 1 + 2 ln ∣ x ∣ - ln ∣ x + 2 ∣ - ln ∣ x - 2 ∣

定数を解答に追加する

= \frac{5}{2} ln (∣ x + 2 ∣ ∣ x - 2 ∣) + \frac{5}{2} ln \frac{x}{2} + 1 - \frac{5}{2} ln \frac{x}{2} - 1 + 2 ln ∣ x ∣ - ln ∣ x + 2 ∣ - ln ∣ x - 2 ∣ + C