inverselaplace 1/(s^2(s^2+1)^2)

解

逆ラプラス

\frac{1}{s ^{2} ( s ^{2} + 1 ) ^{2}}

\frac{t cos ( t ) + 2 t - 3 sin ( t )}{2}

解答ステップ

L^{- 1} {\frac{1}{s ^{2} ( s ^{2} + 1 ) ^{2}}}

以下の部分分数を得る:

\frac{1}{s ^{2} ( s ^{2} + 1 ) ^{2}} : \frac{1}{s ^{2}} - \frac{1}{s ^{2} + 1} - \frac{1}{( s ^{2} + 1 ) ^{2}}

= L^{- 1} {\frac{1}{s ^{2}} - \frac{1}{s ^{2} + 1} - \frac{1}{( s ^{2} + 1 ) ^{2}}}

逆ラプラス変換の線形性を使用する:

関数

f (s), g (s)

と定数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= L^{- 1} {\frac{1}{s ^{2}}} - L^{- 1} {\frac{1}{s ^{2} + 1}} - L^{- 1} {\frac{1}{( s ^{2} + 1 ) ^{2}}}

L^{- 1} {\frac{1}{s ^{2}}} : t

L^{- 1} {\frac{1}{s ^{2} + 1}} : sin (t)

L^{- 1} {\frac{1}{( s ^{2} + 1 ) ^{2}}} : \frac{1}{2} (sin (t) - t cos (t))

= t - sin (t) - \frac{1}{2} (sin (t) - t cos (t))

簡素化

t - sin (t) - \frac{1}{2} (sin (t) - t cos (t)) : \frac{t cos ( t ) + 2 t - 3 sin ( t )}{2}

= \frac{t cos ( t ) + 2 t - 3 sin ( t )}{2}