integral of sqrt(1-4x^2)

Lösung

\int 1 - 4 x^{2} d x

\frac{1}{4} (arcsin (2 x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (2 x))) + C

Schritte zur Lösung

\int 1 - 4 x^{2} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int \frac{1}{2} cos^{2} (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int cos^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 u )}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d u + \int cos (2 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (2 u) d u = \frac{1}{2} sin (2 u)

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} (u + \frac{1}{2} sin (2 u))

Setze in

u = arcsin (2 x)

ein

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} (arcsin (2 x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (2 x)))

Vereinfache

\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} (arcsin (2 x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (2 x))) : \frac{1}{4} (arcsin (2 x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (2 x)))

= \frac{1}{4} (arcsin (2 x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (2 x)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{4} (arcsin (2 x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (2 x))) + C

\frac{d}{d x} ((x^{2} + 1) (x + 1)^{2})

\frac{\partial}{\partial x} (9 e^{x} ln (y))

\frac{d y}{d x} = (e^{x} + 5)^{2}

\int \frac{1}{( 1 + x ) ^{5} x} d x

x \to 0 lim (\frac{sin ^{2} ( 2 x )}{x})