integral of (1-cos(2t))(cos(t))t

解

\int (1 - cos (2 t)) (cos (t)) t d t

2 (\frac{1}{3} t sin^{3} (t) - \frac{1}{3} (- cos (t) + \frac{cos ^{3} ( t )}{3})) + C

解答ステップ

\int (1 - cos (2 t)) cos (t) t d t

三角関数の公式を使用して書き換える

= \int 2 t sin^{2} (t) cos (t) d t

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int t sin^{2} (t) cos (t) d t

部分積分を適用する

= 2 (\frac{1}{3} t sin^{3} (t) - \int \frac{1}{3} sin^{3} (t) d t)

\int \frac{1}{3} sin^{3} (t) d t = \frac{1}{3} (- cos (t) + \frac{cos ^{3} ( t )}{3})

= 2 (\frac{1}{3} t sin^{3} (t) - \frac{1}{3} (- cos (t) + \frac{cos ^{3} ( t )}{3}))

定数を解答に追加する

= 2 (\frac{1}{3} t sin^{3} (t) - \frac{1}{3} (- cos (t) + \frac{cos ^{3} ( t )}{3})) + C