inverselaplace (s+2)/(s(s^2+9))

解

逆ラプラス

\frac{s + 2}{s ( s ^{2} + 9 )}

\frac{2}{9} H (t) - \frac{2}{9} cos (3 t) + \frac{1}{3} sin (3 t)

解答ステップ

L^{- 1} {\frac{s + 2}{s ( s ^{2} + 9 )}}

以下の部分分数を得る:

\frac{s + 2}{s ( s ^{2} + 9 )} : \frac{2}{9 s} + \frac{- 2 s + 9}{9 ( s ^{2} + 9 )}

= L^{- 1} {\frac{2}{9 s} + \frac{- 2 s + 9}{9 ( s ^{2} + 9 )}}

拡張

= L^{- 1} {- \frac{2 s}{9 ( s ^{2} + 9 )} + \frac{2}{9 s} + \frac{9}{9 ( s ^{2} + 9 )}}

逆ラプラス変換の線形性を使用する:

関数

f (s), g (s)

と定数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= \frac{2}{9} L^{- 1} {\frac{1}{s}} - \frac{2}{9} L^{- 1} {\frac{s}{s ^{2} + 9}} + \frac{9}{9} L^{- 1} {\frac{1}{s ^{2} + 9}}

L^{- 1} {\frac{1}{s}} : H (t)

L^{- 1} {\frac{s}{s ^{2} + 9}} : cos (3 t)

L^{- 1} {\frac{1}{s ^{2} + 9}} : \frac{1}{3} sin (3 t)

= \frac{2}{9} H (t) - \frac{2}{9} cos (3 t) + \frac{9}{9} \cdot \frac{1}{3} sin (3 t)

改良

\frac{2}{9} H (t) - \frac{2}{9} cos (3 t) + \frac{9}{9} \frac{1}{3} sin (3 t) : \frac{2}{9} H (t) - \frac{2}{9} cos (3 t) + \frac{1}{3} sin (3 t)

= \frac{2}{9} H (t) - \frac{2}{9} cos (3 t) + \frac{1}{3} sin (3 t)