integral of e^{-st}*(t^2-3t+1)

解

\int e^{- s t} \cdot (t^{2} - 3 t + 1) d t

- \frac{1}{s} e^{- s t} - e^{- s t} \frac{1}{s} t^{2} + \frac{2}{s ^{3}} (- s e^{- s t} t - e^{- s t}) - \frac{3}{s ^{2}} (- s e^{- s t} t - e^{- s t}) + C

解答ステップ

\int e^{- s t} (t^{2} - 3 t + 1) d t

拡張

(1 + t^{2} - 3 t) e^{- s t} : e^{- s t} + e^{- s t} t^{2} - 3 e^{- s t} t

= \int e^{- s t} + e^{- s t} t^{2} - 3 e^{- s t} t d t

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int e^{- s t} d t + \int e^{- s t} t^{2} d t - \int 3 e^{- s t} t d t

\int e^{- s t} d t = - \frac{1}{s} e^{- s t}

\int e^{- s t} t^{2} d t = - e^{- s t} \frac{1}{s} t^{2} + \frac{2}{s ^{3}} (- s e^{- s t} t - e^{- s t})

\int 3 e^{- s t} t d t = \frac{3}{s ^{2}} (- s e^{- s t} t - e^{- s t})

= - \frac{1}{s} e^{- s t} - e^{- s t} \frac{1}{s} t^{2} + \frac{2}{s ^{3}} (- s e^{- s t} t - e^{- s t}) - \frac{3}{s ^{2}} (- s e^{- s t} t - e^{- s t})

定数を解答に追加する

= - \frac{1}{s} e^{- s t} - e^{- s t} \frac{1}{s} t^{2} + \frac{2}{s ^{3}} (- s e^{- s t} t - e^{- s t}) - \frac{3}{s ^{2}} (- s e^{- s t} t - e^{- s t}) + C