integral of 12x^2sqrt(1-x^2)

Lösung

\int 12 x^{2} 1 - x^{2} d x

\frac{3}{2} (arcsin (x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (x))) + C

Schritte zur Lösung

\int 12 x^{2} 1 - x^{2} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 12 \cdot \int x^{2} 1 - x^{2} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= 12 \cdot \int sin^{2} (u) cos^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 12 \cdot \int \frac{1 - cos ( 4 u )}{8} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 12 \cdot \frac{1}{8} \cdot \int 1 - cos (4 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 12 \cdot \frac{1}{8} (\int 1 d u - \int cos (4 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (4 u) d u = \frac{1}{4} sin (4 u)

= 12 \cdot \frac{1}{8} (u - \frac{1}{4} sin (4 u))

Setze in

u = arcsin (x)

ein

= 12 \cdot \frac{1}{8} (arcsin (x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (x)))

Vereinfache

12 \cdot \frac{1}{8} (arcsin (x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (x))) : \frac{3}{2} (arcsin (x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (x)))

= \frac{3}{2} (arcsin (x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (x)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{3}{2} (arcsin (x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (x))) + C

\int \frac{x + 5}{9 - ( x - 3 ) ^{2}} d x

\int_{- 1}^{2} \frac{5 y}{y ^{2} - y - 6} d y

d er i v a t i v e f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 5

t an g e n t f (x) = x^{2} - 3 x + 6, at x = 2

a re a 7 x^{2}, x^{2} + 4