интеграл от sqrt(tan(4x))(sec(4x))^2

Решение

\int tan (4 x) (sec (4 x))^{2} d x

\frac{1}{6} tan^{\frac{3}{2}} (4 x) + C

Шаги решения

\int tan (4 x) (sec (4 x))^{2} d x

Перепишите используя тригонометрические тождества

= \int \frac{sin ( 4 x )}{cos ( 4 x )} sec^{2} (4 x) d x

Испльзуйте основное тригонометрическое тождество:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

= \int sec^{2} (4 x) tan (4 x) d x

Применить подстановку интеграла

= \int \frac{u ^{2}}{2} d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int u^{2} d u

Применить правило показателя степени

= \frac{1}{2} \cdot \frac{u ^{3}}{3}

Делаем обратную замену

u = tan (4 x)

= \frac{1}{2} \cdot \frac{( tan ( 4 x ) ) ^{3}}{3}

Упростите

\frac{1}{2} \cdot \frac{( tan ( 4 x ) ) ^{3}}{3} : \frac{1}{6} tan^{\frac{3}{2}} (4 x)

= \frac{1}{6} tan^{\frac{3}{2}} (4 x)

Добавить константу к решению

= \frac{1}{6} tan^{\frac{3}{2}} (4 x) + C