интеграл с-1 до 1 от 1/(x^2-x-2)

Решение

\int_{- 1}^{1} \frac{1}{x ^{2} - x - 2} d x

расходится

Шаги решения

\int_{- 1}^{1} \frac{1}{x ^{2} - x - 2} d x

Заполните квадрат

x^{2} - x - 2 : (x - \frac{1}{2})^{2} - \frac{9}{4}

= \int_{- 1}^{1} \frac{1}{( x - \frac{1}{2} ) ^{2} - \frac{9}{4}} d x

Применить подстановку интеграла

= \int_{- \frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{4}{4 u ^{2} - 9} d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \int_{- \frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4 u ^{2} - 9} d u

Применить подстановку интеграла

= 4 \cdot \int_{- 1}^{\frac{1}{3}} \frac{1}{6 ( v ^{2} - 1 )} d v

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \frac{1}{6} \cdot \int_{- 1}^{\frac{1}{3}} \frac{1}{v ^{2} - 1} d v

Найдите множитель

v^{2} - 1 : - (- v^{2} + 1)

= 4 \cdot \frac{1}{6} \cdot \int_{- 1}^{\frac{1}{3}} \frac{1}{- ( - v ^{2} + 1 )} d v

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \frac{1}{6} (- \int_{- 1}^{\frac{1}{3}} \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v)

Использовать общий интеграл:

\int \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v = \frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2}

= 4 \cdot \frac{1}{6} (- [\frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2}]_{- 1}^{\frac{1}{3}})

Упростите

4 \cdot \frac{1}{6} (- [\frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2}]_{- 1}^{\frac{1}{3}}) : - \frac{2}{3} [\frac{ln ∣ v + 1 ∣ - ln ∣ v - 1 ∣}{2}]_{- 1}^{\frac{1}{3}}

= - \frac{2}{3} [\frac{ln ∣ v + 1 ∣ - ln ∣ v - 1 ∣}{2}]_{- 1}^{\frac{1}{3}}

Вычислить границы:

расходится

= расходится