integral of x*ln((1-x)/(1+x))

解

\int x \cdot ln (\frac{1 - x}{1 + x}) d x

\frac{1}{2} x^{2} ln (\frac{1 - x}{1 + x}) + \frac{1}{2} ln ∣ x + 1 ∣ - \frac{1}{2} ln ∣ x - 1 ∣ - x + C

解答ステップ

\int x ln (\frac{1 - x}{1 + x}) d x

部分積分を適用する

= \frac{1}{2} x^{2} ln (\frac{1 - x}{1 + x}) - \int - \frac{x ^{2}}{( - x + 1 ) ( x + 1 )} d x

\int - \frac{x ^{2}}{( - x + 1 ) ( x + 1 )} d x = - \frac{1}{2} ln ∣ x + 1 ∣ + \frac{1}{2} ln ∣ x - 1 ∣ + x

= \frac{1}{2} x^{2} ln (\frac{1 - x}{1 + x}) - (- \frac{1}{2} ln ∣ x + 1 ∣ + \frac{1}{2} ln ∣ x - 1 ∣ + x)

簡素化

= \frac{1}{2} x^{2} ln (\frac{1 - x}{1 + x}) + \frac{1}{2} ln ∣ x + 1 ∣ - \frac{1}{2} ln ∣ x - 1 ∣ - x

定数を解答に追加する

= \frac{1}{2} x^{2} ln (\frac{1 - x}{1 + x}) + \frac{1}{2} ln ∣ x + 1 ∣ - \frac{1}{2} ln ∣ x - 1 ∣ - x + C