integral of 3(sqrt(x)ln(x))

解

\int 3 (x ln (x)) d x

2 x^{\frac{3}{2}} ln (x) - \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + C

解答ステップ

\int 3 x ln (x) d x

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \cdot \int x ln (x) d x

部分積分を適用する

= 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} ln (x) - \int \frac{2}{3} x^{\frac{1}{2}} d x)

\int \frac{2}{3} x^{\frac{1}{2}} d x = \frac{4}{9} x^{\frac{3}{2}}

= 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} ln (x) - \frac{4}{9} x^{\frac{3}{2}})

簡素化

3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} ln (x) - \frac{4}{9} x^{\frac{3}{2}}) : 2 x^{\frac{3}{2}} ln (x) - \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}}

= 2 x^{\frac{3}{2}} ln (x) - \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}}

定数を解答に追加する

= 2 x^{\frac{3}{2}} ln (x) - \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + C