integral of 1/((x^2-2x+5)^{3/2)}

Lösung

\int \frac{1}{( x ^{2} - 2 x + 5 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

\frac{x - 1}{4 ( x ^{2} - 2 x + 5 ) ^{\frac{1}{2}}} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{( x ^{2} - 2 x + 5 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Vervollständige das Quadrat

x^{2} - 2 x + 5 : (x - 1)^{2} + 4

= \int \frac{1}{( ( x - 1 ) ^{2} + 4 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1}{( u ^{2} + 4 ) ^{\frac{3}{2}}} d u

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int \frac{1}{4 sec ( v )} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{4} \cdot \int \frac{1}{sec ( v )} d v

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{4} \cdot \int cos (v) d v

Nutze das gemeinsame Integral :

\int cos (v) d v = sin (v)

= \frac{1}{4} sin (v)

Ersetze zurück

= \frac{1}{4} sin (arctan (\frac{1}{2} (x - 1)))

Vereinfache

\frac{1}{4} sin (arctan (\frac{1}{2} (x - 1))) : \frac{x - 1}{4 ( x ^{2} - 2 x + 5 ) ^{\frac{1}{2}}}

= \frac{x - 1}{4 ( x ^{2} - 2 x + 5 ) ^{\frac{1}{2}}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{x - 1}{4 ( x ^{2} - 2 x + 5 ) ^{\frac{1}{2}}} + C

t an g e n t y = (x^{3} - 2) (x^{2} - 3 x + 1), (2, - 6)

\frac{d x}{d t} = 7 x

s l o p e 4 x + 3 x^{2}

ma c l a u r in (1 - x^{2})^{- \frac{1}{2}}

\int 2 x (x^{2} + 3)^{- 4} d x