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integral of e^{-ax}sin(bx)

解答

\int e^{- a x} sin (b x) d x

解答

- \frac{b e ^{- a x} cos ( b x )}{b ^{2} + a ^{2}} - \frac{a e ^{- a x} sin ( b x )}{b ^{2} + a ^{2}} + C

求解步骤

\int e^{- a x} sin (b x) d x

使用分布积分法

= - e^{- a x} \frac{1}{b} cos (b x) - \int a e^{- a x} \frac{1}{b} cos (b x) d x

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - e^{- a x} \frac{1}{b} cos (b x) - a \frac{1}{b} \cdot \int e^{- a x} cos (b x) d x

化简

a \frac{1}{b} : \frac{a}{b}

= - e^{- a x} \frac{1}{b} cos (b x) - \frac{a}{b} \cdot \int e^{- a x} cos (b x) d x

使用分布积分法

= - e^{- a x} \frac{1}{b} cos (b x) - \frac{a}{b} (e^{- a x} \frac{1}{b} sin (b x) - \int - a e^{- a x} \frac{1}{b} sin (b x) d x)

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - e^{- a x} \frac{1}{b} cos (b x) - \frac{a}{b} (e^{- a x} \frac{1}{b} sin (b x) - (- a \frac{1}{b} \cdot \int e^{- a x} sin (b x) d x))

化简

- a \frac{1}{b} : - \frac{a}{b}

= - e^{- a x} \frac{1}{b} cos (b x) - \frac{a}{b} (e^{- a x} \frac{1}{b} sin (b x) - (- \frac{a}{b} \cdot \int e^{- a x} sin (b x) d x))

因此

\int e^{- a x} sin (b x) d x = - e^{- a x} \frac{1}{b} cos (b x) - \frac{a}{b} (e^{- a x} \frac{1}{b} sin (b x) - (- \frac{a}{b} \cdot \int e^{- a x} sin (b x) d x))

整理

\int e^{- a x} sin (b x) d x

= - \frac{b e ^{- a x} cos ( b x )}{b ^{2} + a ^{2}} - \frac{a e ^{- a x} sin ( b x )}{b ^{2} + a ^{2}}

解答补常数

= - \frac{b e ^{- a x} cos ( b x )}{b ^{2} + a ^{2}} - \frac{a e ^{- a x} sin ( b x )}{b ^{2} + a ^{2}} + C

作图

流行的例子

integral of (e^{3x}+5e^{-x})

\int (e^{3 x} + 5 e^{- x}) d x

derivative of c_{1}cos(x+c_{2}sin(x))

\frac{d}{d x} (c_{1} cos (x) + c_{2} sin (x))

y^{''}-4y^'+4y=0

y^{^{''}} - 4 y^{^{'}} + 4 y = 0

integral of x/(sqrt(7x^2+3))

\int \frac{x}{7 x ^{2} + 3} d x

derivative of ln(x^3-1/x)

\frac{d}{d x} (ln (x^{3} - \frac{1}{x}))