integral de (x^2+1)^{-2}

Solução

\int (x^{2} + 1)^{- 2} d x

\frac{1}{2} (arctan (x) + \frac{x}{1 + x ^{2}}) + C

Passos da solução

\int (x^{2} + 1)^{- 2} d x

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{- b} = \frac{1}{a ^{b}}

= \int \frac{1}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} d x

Aplicar integração por substituição trigonométrica

= \int \frac{1}{sec ^{4} ( u ) cos ^{2} ( u )} d u

Reeecreva usando identidades trigonométricas

= \int \frac{1 + cos ( 2 u )}{2} d u

Remover a constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 u) d u

Aplicar a regra da soma:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} (\int 1 d u + \int cos (2 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (2 u) d u = \frac{1}{2} sin (2 u)

= \frac{1}{2} (u + \frac{1}{2} sin (2 u))

Substituir na equação

u = arctan (x)

= \frac{1}{2} (arctan (x) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (x)))

Simplificar

\frac{1}{2} (arctan (x) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (x))) : \frac{1}{2} (arctan (x) + \frac{x}{1 + x ^{2}})

= \frac{1}{2} (arctan (x) + \frac{x}{1 + x ^{2}})

Adicionar uma constante à solução

= \frac{1}{2} (arctan (x) + \frac{x}{1 + x ^{2}}) + C

a re a y = x^{2} - 9, y = - x + 5, x = 0, x = 2

t an g e n t f (x) = x^{2} - 7 x + 7, 7, at x = 0

\frac{d}{d θ} (cot (ln (θ - cos (θ))))

d er i v a t i v e lo g_{3} (e^{7 x})

l a pl a ce t r an s f or m t^{2} e^{, at}