integral of (cos(x))/(sin^2(x)+sin(x))

Lösung

\int \frac{cos ( x )}{sin ^{2} ( x ) + sin ( x )} d x

ln tan (\frac{x}{2}) - 2 ln tan (\frac{x}{2}) + 1 + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{cos ( x )}{sin ^{2} ( x ) + sin ( x )} d x

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int \frac{cos ( x )}{1 - cos ^{2} ( x ) + sin ( x )} d x

Wende U-Substitution an

= \int - \frac{u - 1}{u ( u + 1 )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \int \frac{u - 1}{u ( u + 1 )} d u

Ermittle den Partialbruch von

\frac{u - 1}{u ( u + 1 )} : - \frac{1}{u} + \frac{2}{u + 1}

= - \int - \frac{1}{u} + \frac{2}{u + 1} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - (- \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{2}{u + 1} d u)

\int \frac{1}{u} d u = ln ∣ u ∣

\int \frac{2}{u + 1} d u = 2 ln ∣ u + 1 ∣

= - (- ln ∣ u ∣ + 2 ln ∣ u + 1 ∣)

Setze in

u = tan (\frac{x}{2})

ein

= - (- ln tan (\frac{x}{2}) + 2 ln tan (\frac{x}{2}) + 1)

Vereinfache

= ln tan (\frac{x}{2}) - 2 ln tan (\frac{x}{2}) + 1

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= ln tan (\frac{x}{2}) - 2 ln tan (\frac{x}{2}) + 1 + C

d y = (y + 2 x - 3) d x

x \to - 0.87 lim ((x^{3} - x) x^{2})

\int (3 x^{5}) d x

\frac{\partial}{\partial y} (2 x e^{- x y})

in v erse l a pl a ce (x^{3} + 1)^{- 1}