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integral of (sqrt(4-x^2))/2

Lösung

\int \frac{4 - x ^{2}}{2} d x

arcsin (\frac{1}{2} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{2} x)) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{4 - x ^{2}}{2} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int 4 - x^{2} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \frac{1}{2} \cdot \int 4 cos^{2} (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \int cos^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 u )}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d u + \int cos (2 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (2 u) d u = \frac{1}{2} sin (2 u)

= \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} (u + \frac{1}{2} sin (2 u))

Setze in

u = arcsin (\frac{1}{2} x)

ein

= \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{2} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{2} x)))

Vereinfache

\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{2} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{2} x))) : arcsin (\frac{1}{2} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{2} x))

= arcsin (\frac{1}{2} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{2} x))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= arcsin (\frac{1}{2} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{2} x)) + C

\frac{d}{d x} (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x)

n = 1 \sum \infty \frac{2 ^{n}}{n ^{2}}

d er i v a t i v e \frac{1}{2 x} - \frac{5}{3 x ^{2}}

\int 11 arcsin (2 x) d x

x \to 0 lim (\frac{x 4 ^{x}}{4 ^{x} - 1})