inverselaplace (s^2)/(s^3-1)

Lösung

inverse laplace transformation

\frac{s ^{2}}{s ^{3} - 1}

\frac{1}{3} e^{t} + \frac{2}{3} e^{- \frac{t}{2}} cos (\frac{3 t}{2})

Schritte zur Lösung

L^{- 1} {\frac{s ^{2}}{s ^{3} - 1}}

Ermittle den Partialbruch von

\frac{s ^{2}}{s ^{3} - 1} : \frac{1}{3 ( s - 1 )} + \frac{2 s + 1}{3 ( s ^{2} + s + 1 )}

= L^{- 1} {\frac{1}{3 ( s - 1 )} + \frac{2 s + 1}{3 ( s ^{2} + s + 1 )}}

Schreibe

\frac{2 s + 1}{3 ( s ^{2} + s + 1 )}

um:

\frac{1}{3} \cdot \frac{2 ( s + \frac{1}{2} )}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}}

= L^{- 1} {\frac{1}{3 ( s - 1 )} + \frac{1}{3} \cdot \frac{2 ( s + \frac{1}{2} )}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}}}

Wende die lineare Eigenschaftder inversen Laplace-Transformation an:

Für Funktionen

f (s), g (s)

und Konstanten

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= L^{- 1} {\frac{1}{3 ( s - 1 )}} + \frac{1}{3} L^{- 1} {\frac{2 ( s + \frac{1}{2} )}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}}}

L^{- 1} {\frac{1}{3 ( s - 1 )}} : \frac{1}{3} e^{t}

L^{- 1} {\frac{2 ( s + \frac{1}{2} )}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}}} : e^{- \frac{t}{2}} \cdot 2 cos (\frac{3 t}{2})

= \frac{1}{3} e^{t} + \frac{1}{3} e^{- \frac{t}{2}} \cdot 2 cos (\frac{3 t}{2})

Fasse

\frac{1}{3} e^{t} + \frac{1}{3} e^{- \frac{t}{2}} 2 cos (\frac{3 t}{2})

zusammen:

\frac{1}{3} e^{t} + \frac{2}{3} e^{- \frac{t}{2}} cos (\frac{3 t}{2})

= \frac{1}{3} e^{t} + \frac{2}{3} e^{- \frac{t}{2}} cos (\frac{3 t}{2})

\int x (3 x + 2) d x

\int x sinh (x) d x

\int_{0}^{1} 6 (1 + x)^{5} d x

\frac{d}{d x} ((4 x)^{2})

\frac{\partial}{\partial z} (x^{2} + 3 yz + 4 x y)