интеграл с 0 до pi от sin(2x)cos(x)

Решение

\int_{0}^{π} sin (2 x) cos (x) d x

\frac{4}{3}

десятичными цифрами

1.33333 \dots

Шаги решения

\int_{0}^{π} sin (2 x) cos (x) d x

Перепишите используя тригонометрические тождества

= \int_{0}^{π} 2 cos^{2} (x) sin (x) d x

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int_{0}^{π} cos^{2} (x) sin (x) d x

Применить подстановку интеграла

= 2 \cdot \int_{1}^{- 1} - u^{2} d u

\int_{a}^{b} f (x) d x = - \int_{b}^{a} f (x) d x, a < b

= 2 (- \int_{- 1}^{1} - u^{2} d u)

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 (- (- \int_{- 1}^{1} u^{2} d u))

Применить правило показателя степени

= 2 (- (- [\frac{u ^{3}}{3}]_{- 1}^{1}))

После упрощения получаем

= 2 [\frac{u ^{3}}{3}]_{- 1}^{1}

Вычислить границы:

\frac{2}{3}

= 2 \cdot \frac{2}{3}

После упрощения получаем

= \frac{4}{3}