integral of 6x^2sqrt(x+2)

解答

\int 6 x^{2} x + 2 d x

6 (\frac{2}{7} (x + 2)^{\frac{7}{2}} - \frac{8}{5} (x + 2)^{\frac{5}{2}} + \frac{8}{3} (x + 2)^{\frac{3}{2}}) + C

求解步骤

\int 6 x^{2} x + 2 d x

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 6 \cdot \int x^{2} x + 2 d x

使用换元积分法

= 6 \cdot \int (u - 2)^{2} u d u

乘开

(u - 2)^{2} u : u^{\frac{5}{2}} - 4 u^{\frac{3}{2}} + 4 u

= 6 \cdot \int u^{\frac{5}{2}} - 4 u^{\frac{3}{2}} + 4 u d u

使用积分加法定则:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 6 (\int u^{\frac{5}{2}} d u - \int 4 u^{\frac{3}{2}} d u + \int 4 u d u)

\int u^{\frac{5}{2}} d u = \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}

\int 4 u^{\frac{3}{2}} d u = \frac{8}{5} u^{\frac{5}{2}}

\int 4 u d u = \frac{8}{3} u^{\frac{3}{2}}

= 6 (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} - \frac{8}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{8}{3} u^{\frac{3}{2}})

u = x + 2

代回

= 6 (\frac{2}{7} (x + 2)^{\frac{7}{2}} - \frac{8}{5} (x + 2)^{\frac{5}{2}} + \frac{8}{3} (x + 2)^{\frac{3}{2}})

解答补常数

= 6 (\frac{2}{7} (x + 2)^{\frac{7}{2}} - \frac{8}{5} (x + 2)^{\frac{5}{2}} + \frac{8}{3} (x + 2)^{\frac{3}{2}}) + C

\int \frac{x ^{3} + 11}{x ^{2} + 5 x + 6} d x

\frac{\partial}{\partial x} (4 x^{3} y^{2} - 2)

d er i v a t i v e y = x^{4} - 2 x^{3} - 9

\int (x - 1) d x

x \to 0 lim (\frac{x}{1 - x})