integral of sin^6(4x)

Lösung

\int sin^{6} (4 x) d x

\frac{1}{4} (- \frac{1}{6} sin^{5} (4 x) cos (4 x) + \frac{5}{6} (- \frac{1}{4} sin^{3} (4 x) cos (4 x) + \frac{3}{8} (4 x - \frac{1}{2} sin (8 x)))) + C

Schritte zur Lösung

\int sin^{6} (4 x) d x

Wende U-Substitution an

= \int sin^{6} (u) \frac{1}{4} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{4} \cdot \int sin^{6} (u) d u

Wende integrale Reduktion an

= \frac{1}{4} (- \frac{cos ( u ) sin ^{5} ( u )}{6} + \frac{5}{6} \cdot \int sin^{4} (u) d u)

\int sin^{4} (u) d u = - \frac{1}{4} sin^{3} (u) cos (u) + \frac{3}{8} (u - \frac{1}{2} sin (2 u))

= \frac{1}{4} (- \frac{cos ( u ) sin ^{5} ( u )}{6} + \frac{5}{6} (- \frac{1}{4} sin^{3} (u) cos (u) + \frac{3}{8} (u - \frac{1}{2} sin (2 u))))

Setze in

u = 4 x

ein

= \frac{1}{4} (- \frac{cos ( 4 x ) sin ^{5} ( 4 x )}{6} + \frac{5}{6} (- \frac{1}{4} sin^{3} (4 x) cos (4 x) + \frac{3}{8} (4 x - \frac{1}{2} sin (2 \cdot 4 x))))

Vereinfache

\frac{1}{4} (- \frac{cos ( 4 x ) sin ^{5} ( 4 x )}{6} + \frac{5}{6} (- \frac{1}{4} sin^{3} (4 x) cos (4 x) + \frac{3}{8} (4 x - \frac{1}{2} sin (2 \cdot 4 x)))) : \frac{1}{4} (- \frac{1}{6} sin^{5} (4 x) cos (4 x) + \frac{5}{6} (- \frac{1}{4} sin^{3} (4 x) cos (4 x) + \frac{3}{8} (4 x - \frac{1}{2} sin (8 x))))

= \frac{1}{4} (- \frac{1}{6} sin^{5} (4 x) cos (4 x) + \frac{5}{6} (- \frac{1}{4} sin^{3} (4 x) cos (4 x) + \frac{3}{8} (4 x - \frac{1}{2} sin (8 x))))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{4} (- \frac{1}{6} sin^{5} (4 x) cos (4 x) + \frac{5}{6} (- \frac{1}{4} sin^{3} (4 x) cos (4 x) + \frac{3}{8} (4 x - \frac{1}{2} sin (8 x)))) + C

n = 0 \sum \infty (\frac{1}{8})^{n}

\frac{d}{d x} (\frac{e ^{5 x}}{x ^{20}})

x \to 0 + lim (\frac{[ x ]}{x})

\int x^{4} - x^{2} - x d x

\int 6 x^{2} x + 2 d x