integral of e^{-st}tcos(t)

Lösung

\int e^{- s t} t cos (t) d t

- e^{- s t} \frac{1}{s} t cos (t) - e^{- s t} \frac{1}{s ^{2}} cos (t) + e^{- s t} \frac{1}{s ( s ^{2} + 1 )} t cos (t) + e^{- s t} \frac{1}{1 + s ^{2}} t sin (t) - e^{- s t} \frac{1}{s ( s ^{2} + 1 ) ^{2}} sin (t) + e^{- s t} \frac{2}{( 1 + s ^{2} ) ^{2}} cos (t) + e^{- s t} \frac{s}{( 1 + s ^{2} ) ^{2}} sin (t) + e^{- s t} \frac{1}{s ^{2} ( 1 + s ^{2} )} cos (t) + e^{- s t} \frac{1}{s ( s ^{2} + 1 )} sin (t) + C

Schritte zur Lösung

\int e^{- s t} t cos (t) d t

Wende die partielle Integration an

= \frac{1}{s ^{2}} cos (t) (- s e^{- s t} t - e^{- s t}) - \int - \frac{1}{s ^{2}} sin (t) (- s e^{- s t} t - e^{- s t}) d t

\int - \frac{1}{s ^{2}} sin (t) (- s e^{- s t} t - e^{- s t}) d t = - e^{- s t} \frac{1}{s ( s ^{2} + 1 )} t cos (t) - e^{- s t} \frac{1}{1 + s ^{2}} t sin (t) + e^{- s t} \frac{1}{s ( s ^{2} + 1 ) ^{2}} sin (t) - e^{- s t} \frac{2}{( 1 + s ^{2} ) ^{2}} cos (t) - e^{- s t} \frac{s}{( 1 + s ^{2} ) ^{2}} sin (t) - e^{- s t} \frac{1}{s ^{2} ( 1 + s ^{2} )} cos (t) - e^{- s t} \frac{1}{s ( s ^{2} + 1 )} sin (t)

= \frac{1}{s ^{2}} cos (t) (- s e^{- s t} t - e^{- s t}) - (- e^{- s t} \frac{1}{s ( s ^{2} + 1 )} t cos (t) - e^{- s t} \frac{1}{1 + s ^{2}} t sin (t) + e^{- s t} \frac{1}{s ( s ^{2} + 1 ) ^{2}} sin (t) - e^{- s t} \frac{2}{( 1 + s ^{2} ) ^{2}} cos (t) - e^{- s t} \frac{s}{( 1 + s ^{2} ) ^{2}} sin (t) - e^{- s t} \frac{1}{s ^{2} ( 1 + s ^{2} )} cos (t) - e^{- s t} \frac{1}{s ( s ^{2} + 1 )} sin (t))

Vereinfache

\frac{1}{s ^{2}} cos (t) (- s e^{- s t} t - e^{- s t}) - (- e^{- s t} \frac{1}{s ( s ^{2} + 1 )} t cos (t) - e^{- s t} \frac{1}{1 + s ^{2}} t sin (t) + e^{- s t} \frac{1}{s ( s ^{2} + 1 ) ^{2}} sin (t) - e^{- s t} \frac{2}{( 1 + s ^{2} ) ^{2}} cos (t) - e^{- s t} \frac{s}{( 1 + s ^{2} ) ^{2}} sin (t) - e^{- s t} \frac{1}{s ^{2} ( 1 + s ^{2} )} cos (t) - e^{- s t} \frac{1}{s ( s ^{2} + 1 )} sin (t)) : - e^{- s t} \frac{1}{s} t cos (t) - e^{- s t} \frac{1}{s ^{2}} cos (t) + e^{- s t} \frac{1}{s ( s ^{2} + 1 )} t cos (t) + e^{- s t} \frac{1}{1 + s ^{2}} t sin (t) - e^{- s t} \frac{1}{s ( s ^{2} + 1 ) ^{2}} sin (t) + e^{- s t} \frac{2}{( 1 + s ^{2} ) ^{2}} cos (t) + e^{- s t} \frac{s}{( 1 + s ^{2} ) ^{2}} sin (t) + e^{- s t} \frac{1}{s ^{2} ( 1 + s ^{2} )} cos (t) + e^{- s t} \frac{1}{s ( s ^{2} + 1 )} sin (t)

= - e^{- s t} \frac{1}{s} t cos (t) - e^{- s t} \frac{1}{s ^{2}} cos (t) + e^{- s t} \frac{1}{s ( s ^{2} + 1 )} t cos (t) + e^{- s t} \frac{1}{1 + s ^{2}} t sin (t) - e^{- s t} \frac{1}{s ( s ^{2} + 1 ) ^{2}} sin (t) + e^{- s t} \frac{2}{( 1 + s ^{2} ) ^{2}} cos (t) + e^{- s t} \frac{s}{( 1 + s ^{2} ) ^{2}} sin (t) + e^{- s t} \frac{1}{s ^{2} ( 1 + s ^{2} )} cos (t) + e^{- s t} \frac{1}{s ( s ^{2} + 1 )} sin (t)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - e^{- s t} \frac{1}{s} t cos (t) - e^{- s t} \frac{1}{s ^{2}} cos (t) + e^{- s t} \frac{1}{s ( s ^{2} + 1 )} t cos (t) + e^{- s t} \frac{1}{1 + s ^{2}} t sin (t) - e^{- s t} \frac{1}{s ( s ^{2} + 1 ) ^{2}} sin (t) + e^{- s t} \frac{2}{( 1 + s ^{2} ) ^{2}} cos (t) + e^{- s t} \frac{s}{( 1 + s ^{2} ) ^{2}} sin (t) + e^{- s t} \frac{1}{s ^{2} ( 1 + s ^{2} )} cos (t) + e^{- s t} \frac{1}{s ( s ^{2} + 1 )} sin (t) + C

in v erse l a pl a ce \frac{5}{s ( s ^{2} + s + 1 )}

\int_{- 2}^{2} 4^{x} d x

\frac{( d y )}{( d x )} = 8 x^{(3)} + 6 x^{(2)}

d er i v a t i v e 15 x ln (4 x)

\int \frac{8}{5 ^{3 x}} d x