integral of ((e^x))/(e^x(e^x-3))

Lösung

\int \frac{( e ^{x} )}{e ^{x} ( e ^{x} - 3 )} d x

- \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} ln ∣ e^{x} - 3 ∣ + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{e ^{x}}{e ^{x} ( e ^{x} - 3 )} d x

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

e^{x}

= \int \frac{1}{e ^{x} - 3} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1}{u ( u - 3 )} d u

Ermittle den Partialbruch von

\frac{1}{u ( u - 3 )} : - \frac{1}{3 u} + \frac{1}{3 ( u - 3 )}

= \int - \frac{1}{3 u} + \frac{1}{3 ( u - 3 )} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - \int \frac{1}{3 u} d u + \int \frac{1}{3 ( u - 3 )} d u

\int \frac{1}{3 u} d u = \frac{1}{3} ln ∣ u ∣

\int \frac{1}{3 ( u - 3 )} d u = \frac{1}{3} ln ∣ u - 3 ∣

= - \frac{1}{3} ln ∣ u ∣ + \frac{1}{3} ln ∣ u - 3 ∣

Setze in

u = e^{x}

ein

= - \frac{1}{3} ln ∣ e^{x} ∣ + \frac{1}{3} ln ∣ e^{x} - 3 ∣

\frac{1}{3} ln ∣ e^{x} ∣ = \frac{1}{3} x

= - \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} ln ∣ e^{x} - 3 ∣

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} ln ∣ e^{x} - 3 ∣ + C

\int \frac{( x ^{3} )}{x ^{2} + 81} d x

d er i v a t i v e x^{2} sin (x)

\int \frac{arctan ( 3 x )}{1 + 9 x ^{2}} d x

\int_{0}^{π} sin (3 x) sin (5 x) d x

\frac{d}{d x} (\frac{4 x ^{2} + 4 x + 6}{x})