integral of 1/(v^2-v+1)

Lösung

\int \frac{1}{v ^{2} - v + 1} d v

\frac{2}{3} arctan (\frac{2 v - 1}{3}) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{v ^{2} - v + 1} d v

Vervollständige das Quadrat

v^{2} - v + 1 : (v - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}

= \int \frac{1}{( v - \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}} d v

Wende U-Substitution an

= \int \frac{4}{4 u ^{2} + 3} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \int \frac{1}{4 u ^{2} + 3} d u

Wende integrale Substitution an

= 4 \cdot \int \frac{1}{2 3 ( w ^{2} + 1 )} d w

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \frac{1}{2 3} \cdot \int \frac{1}{w ^{2} + 1} d w

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{w ^{2} + 1} d w = arctan (w)

= 4 \cdot \frac{1}{2 3} arctan (w)

Ersetze zurück

= 4 \cdot \frac{1}{2 3} arctan (\frac{2}{3} (v - \frac{1}{2}))

Vereinfache

4 \cdot \frac{1}{2 3} arctan (\frac{2}{3} (v - \frac{1}{2})) : \frac{2}{3} arctan (\frac{2 v - 1}{3})

= \frac{2}{3} arctan (\frac{2 v - 1}{3})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{2}{3} arctan (\frac{2 v - 1}{3}) + C

d er i v a t i v e f (x) = ln (\frac{x + 1}{x - 1})

\int \frac{1}{x ^{2} 1 - x ^{2}} d x

d er i v a t i v e 5 x^{2} + 4 x + 2

y^{^{''}} + 2 y^{^{'}} + 2 y = sin (a x)

t an g e n t 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 5