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受欢迎的微积分 >

integral of 2/(2-e^x)

解答

\int \frac{2}{2 - e ^{x}} d x

解答

x - ln ∣ e^{x} - 2 ∣ + C

求解步骤

\int \frac{2}{2 - e ^{x}} d x

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{1}{2 - e ^{x}} d x

使用换元积分法

= 2 \cdot \int \frac{1}{u ( 2 - u )} d u

对

u (2 - u)

配方:

- (u - 1)^{2} + 1

= 2 \cdot \int \frac{1}{- ( u - 1 ) ^{2} + 1} d u

使用换元积分法

= 2 \cdot \int \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v

使用积分常见定则:

\int \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v = \frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2}

= 2 (\frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2})

代回

= 2 (\frac{ln ∣ e ^{x} - 1 + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ e ^{x} - 1 - 1 ∣}{2})

化简

2 (\frac{ln ∣ e ^{x} - 1 + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ e ^{x} - 1 - 1 ∣}{2}) : x - ln ∣ e^{x} - 2 ∣

= x - ln ∣ e^{x} - 2 ∣

解答补常数

= x - ln ∣ e^{x} - 2 ∣ + C

作图

流行的例子

integral of sin^4(u)

\int sin^{4} (u) d u

derivative of 8x-2x^3

\frac{d}{d x} (8 x - 2 x^{3})

derivative of (3x/(1-x))

\frac{d}{d x} (\frac{3 x}{1 - x})

integral of e^{1/x}

\int e^{\frac{1}{x}} d x

derivative (5+6x)^2

d er i v a t i v e (5 + 6 x)^{2}