inverselaplace (s+1)/(s^2(s^2+1))

解

逆ラプラス

\frac{s + 1}{s ^{2} ( s ^{2} + 1 )}

H (t) + t - cos (t) - sin (t)

解答ステップ

L^{- 1} {\frac{s + 1}{s ^{2} ( s ^{2} + 1 )}}

以下の部分分数を得る:

\frac{s + 1}{s ^{2} ( s ^{2} + 1 )} : \frac{1}{s} + \frac{1}{s ^{2}} + \frac{- s - 1}{s ^{2} + 1}

= L^{- 1} {\frac{1}{s} + \frac{1}{s ^{2}} + \frac{- s - 1}{s ^{2} + 1}}

拡張

= L^{- 1} {\frac{1}{s} + \frac{1}{s ^{2}} - \frac{s}{s ^{2} + 1} - \frac{1}{s ^{2} + 1}}

逆ラプラス変換の線形性を使用する:

関数

f (s), g (s)

と定数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= L^{- 1} {\frac{1}{s}} + L^{- 1} {\frac{1}{s ^{2}}} - L^{- 1} {\frac{s}{s ^{2} + 1}} - L^{- 1} {\frac{1}{s ^{2} + 1}}

L^{- 1} {\frac{1}{s}} : H (t)

L^{- 1} {\frac{1}{s ^{2}}} : t

L^{- 1} {\frac{s}{s ^{2} + 1}} : cos (t)

L^{- 1} {\frac{1}{s ^{2} + 1}} : sin (t)

= H (t) + t - cos (t) - sin (t)