English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

partialfraction (a^2+a^2+a+1)/(a^4-1)

Решение

неполная дробь

\frac{a ^{2} + a ^{2} + a + 1}{a ^{4} - 1}

\frac{- a + 1}{2 ( a ^{2} + 1 )} - \frac{1}{2 ( a + 1 )} + \frac{1}{a - 1}

Шаги решения

\frac{a ^{2} + a ^{2} + a + 1}{a ^{4} - 1}

Расширить

a^{2} + a^{2} + a + 1

\frac{2 a ^{2} + a + 1}{a ^{4} - 1}

коэффициент

a^{4} - 1 : (a^{2} + 1) (a + 1) (a - 1)

= \frac{2 a ^{2} + a + 1}{( a + 1 ) ( a - 1 ) ( a ^{2} + 1 )}

Создайте шаблон частичной дроби, используя знаменатель

(a^{2} + 1) (a + 1) (a - 1)

\frac{2 a ^{2} + a + 1}{( a ^{2} + 1 ) ( a + 1 ) ( a - 1 )} = \frac{a _{1} a + a}{a ^{2} + 1} + \frac{a _{2}}{a + 1} + \frac{a _{3}}{a - 1}

Умножьте уравнение на знаменатель

\frac{( 2 a ^{2} + a + 1 ) ( a ^{2} + 1 ) ( a + 1 ) ( a - 1 )}{( a ^{2} + 1 ) ( a + 1 ) ( a - 1 )} = \frac{( a _{1} a + a ) ( a ^{2} + 1 ) ( a + 1 ) ( a - 1 )}{a ^{2} + 1} + \frac{a _{2} ( a ^{2} + 1 ) ( a + 1 ) ( a - 1 )}{a + 1} + \frac{a _{3} ( a ^{2} + 1 ) ( a + 1 ) ( a - 1 )}{a - 1}

После упрощения получаем

2 a^{2} + a + 1 = (a_{1} a + a) (a + 1) (a - 1) + a_{2} (a^{2} + 1) (a - 1) + a_{3} (a^{2} + 1) (a + 1)

Решите неизвестные параметры, подставив действительные корни знаменателя:

- 1, 1

Для корня знаменателя

- 1 : a_{2} = - \frac{1}{2}

Для корня знаменателя

1 : a_{3} = 1

a_{2} = - \frac{1}{2}, a_{3} = 1

Подставьте решения известных параметров

2 a^{2} + a + 1 = (a_{1} a + a) (a + 1) (a - 1) + (- \frac{1}{2}) (a^{2} + 1) (a - 1) + 1 \cdot (a^{2} + 1) (a + 1)

Расширить

2 a^{2} + a + 1 = a_{1} a^{3} + \frac{a ^{3}}{2} + \frac{3 a ^{2}}{2} + \frac{a}{2} + \frac{1}{2} + a a^{2} - a_{1} a - a + 1

Извлеките переменные из дробей

2 a^{2} + a + 1 = a_{1} a^{3} + \frac{1}{2} a^{3} + \frac{3}{2} a^{2} + \frac{1}{2} a + \frac{1}{2} + a a^{2} - a_{1} a - a + 1

Сгруппировать элементы по степеням

x

2 a^{2} + 1 \cdot a + 1 = a^{3} (a_{1} + \frac{1}{2}) + a^{2} (a + \frac{3}{2}) + a (\frac{1}{2} - a_{1}) + (1 + \frac{1}{2} - a)

Приравняйте коэффициенты подобных членов с обеих сторон, чтобы создать список уравнений

\frac{1}{2} - a + 1 = 1 \frac{1}{2} - a_{1} = 1 \frac{3}{2} + a = 2 a_{1} + \frac{1}{2} = 0

Решите систему уравнений:

a = \frac{1}{2}, a_{1} = - \frac{1}{2}

a = \frac{1}{2}, a_{1} = - \frac{1}{2}

Подставьте решения к параметрам частичной дроби, чтобы получить окончательный результат

\frac{( - \frac{1}{2} ) a + \frac{1}{2}}{a ^{2} + 1} + \frac{( - \frac{1}{2} )}{a + 1} + \frac{1}{a - 1}

После упрощения получаем

\frac{- a + 1}{2 ( a ^{2} + 1 )} - \frac{1}{2 ( a + 1 )} + \frac{1}{a - 1}