因数 (x-3)^4-5x(x-3)^2+4

解

因数

(x - 3)^{4} - 5 x (x - 3)^{2} + 4

(x - 1) (x^{3} - 16 x^{2} + 68 x - 85)

解答ステップ

(x - 3)^{4} - 5 x (x - 3)^{2} + 4

(x - 3)^{4} : x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} - 108 x + 81

= x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} - 108 x + 81 - 5 x (x - 3)^{2} + 4

(x - 3)^{2} : x^{2} - 6 x + 9

= x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} - 108 x + 81 - 5 x (x^{2} - 6 x + 9) + 4

拡張

- 5 x (x^{2} - 6 x + 9) : - 5 x^{3} + 30 x^{2} - 45 x

= x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} - 108 x + 81 - 5 x^{3} + 30 x^{2} - 45 x + 4

簡素化

x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} - 108 x + 81 - 5 x^{3} + 30 x^{2} - 45 x + 4 : x^{4} - 17 x^{3} + 84 x^{2} - 153 x + 85

= x^{4} - 17 x^{3} + 84 x^{2} - 153 x + 85

有理根定理を使用する

a_{0} = 85, a_{n} = 1

a_{0} : 1, 5, 17, 85

の除数,

a_{n} : 1

の除数

ゆえに次の有理数をチェックする:

\pm \frac{1 , 5 , 17 , 85}{1}

\frac{1}{1}

は式の累乗根なので

x - 1

をくくり出す

= (x - 1) \frac{x ^{4} - 17 x ^{3} + 84 x ^{2} - 153 x + 85}{x - 1}

\frac{x ^{4} - 17 x ^{3} + 84 x ^{2} - 153 x + 85}{x - 1} = x^{3} - 16 x^{2} + 68 x - 85

= (x - 1) (x^{3} - 16 x^{2} + 68 x - 85)