展開する (e^x+e^-x)^4

解

展開する

(e^{x} + e^{-} x)^{4}

e^{4 x} + 4 e^{3 x} x + 6 e^{2 x} x^{2} + 4 e^{x - 3} x^{3} + \frac{x ^{4}}{e ^{4}}

解答ステップ

(e^{x} + e^{-} x)^{4}

2項定理を適用する:

(a + b)^{n} = i = 0 \sum n (i n) a^{(n - i)} b^{i}

a = e^{x}, b = e^{-} x

= i = 0 \sum 4 (i 4) (e^{x})^{(4 - i)} (e^{-} x)^{i}

総和を展開する

= \frac{4 !}{0 ! ( 4 - 0 ) !} (e^{x})^{4} (e^{-} x)^{0} + \frac{4 !}{1 ! ( 4 - 1 ) !} (e^{x})^{3} (e^{-} x)^{1} + \frac{4 !}{2 ! ( 4 - 2 ) !} (e^{x})^{2} (e^{-} x)^{2} + \frac{4 !}{3 ! ( 4 - 3 ) !} (e^{x})^{1} (e^{-} x)^{3} + \frac{4 !}{4 ! ( 4 - 4 ) !} (e^{x})^{0} (e^{-} x)^{4}

簡素化

\frac{4 !}{0 ! ( 4 - 0 ) !} (e^{x})^{4} (e^{-} x)^{0} : e^{4 x}

簡素化

\frac{4 !}{1 ! ( 4 - 1 ) !} (e^{x})^{3} (e^{-} x)^{1} : 4 e^{3 x} x

簡素化

\frac{4 !}{2 ! ( 4 - 2 ) !} (e^{x})^{2} (e^{-} x)^{2} : 6 e^{2 x} x^{2}

簡素化

\frac{4 !}{3 ! ( 4 - 3 ) !} (e^{x})^{1} (e^{-} x)^{3} : 4 e^{x - 3} x^{3}

簡素化

\frac{4 !}{4 ! ( 4 - 4 ) !} (e^{x})^{0} (e^{-} x)^{4} : \frac{x ^{4}}{e ^{4}}

= e^{4 x} + 4 e^{3 x} x + 6 e^{2 x} x^{2} + 4 e^{x - 3} x^{3} + \frac{x ^{4}}{e ^{4}}