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展开 (1/2 n-2v)^{10}

解答

展开

(\frac{1}{2} n - 2 v)^{10}

解答

\frac{n ^{10}}{1024} - \frac{5 n ^{9} v}{128} + \frac{45 n ^{8} v ^{2}}{64} + \frac{- 15 n ^{7} v ^{3} + 105 n ^{6} v ^{4}}{2} - 252 n^{5} v^{5} + 840 n^{4} v^{6} - 1920 n^{3} v^{7} + 2880 n^{2} v^{8} - 2560 n v^{9} + 1024 v^{10}

求解步骤

(\frac{1}{2} n - 2 v)^{10}

使用二项式定理:

(a + b)^{n} = i = 0 \sum n (i n) a^{(n - i)} b^{i}

a = \frac{1}{2} n, b = - 2 v

= i = 0 \sum 10 (i 10) (\frac{1}{2} n)^{(10 - i)} (- 2 v)^{i}

展开求和

= \frac{10 !}{0 ! ( 10 - 0 ) !} (\frac{1}{2} n)^{10} (- 2 v)^{0} + \frac{10 !}{1 ! ( 10 - 1 ) !} (\frac{1}{2} n)^{9} (- 2 v)^{1} + \frac{10 !}{2 ! ( 10 - 2 ) !} (\frac{1}{2} n)^{8} (- 2 v)^{2} + \frac{10 !}{3 ! ( 10 - 3 ) !} (\frac{1}{2} n)^{7} (- 2 v)^{3} + \frac{10 !}{4 ! ( 10 - 4 ) !} (\frac{1}{2} n)^{6} (- 2 v)^{4} + \frac{10 !}{5 ! ( 10 - 5 ) !} (\frac{1}{2} n)^{5} (- 2 v)^{5} + \frac{10 !}{6 ! ( 10 - 6 ) !} (\frac{1}{2} n)^{4} (- 2 v)^{6} + \frac{10 !}{7 ! ( 10 - 7 ) !} (\frac{1}{2} n)^{3} (- 2 v)^{7} + \frac{10 !}{8 ! ( 10 - 8 ) !} (\frac{1}{2} n)^{2} (- 2 v)^{8} + \frac{10 !}{9 ! ( 10 - 9 ) !} (\frac{1}{2} n)^{1} (- 2 v)^{9} + \frac{10 !}{10 ! ( 10 - 10 ) !} (\frac{1}{2} n)^{0} (- 2 v)^{10}

化简

\frac{10 !}{0 ! ( 10 - 0 ) !} (\frac{1}{2} n)^{10} (- 2 v)^{0} : \frac{n ^{10}}{1024}

化简

\frac{10 !}{1 ! ( 10 - 1 ) !} (\frac{1}{2} n)^{9} (- 2 v)^{1} : - \frac{5 n ^{9} v}{128}

化简

\frac{10 !}{2 ! ( 10 - 2 ) !} (\frac{1}{2} n)^{8} (- 2 v)^{2} : \frac{45 n ^{8} v ^{2}}{64}

化简

\frac{10 !}{3 ! ( 10 - 3 ) !} (\frac{1}{2} n)^{7} (- 2 v)^{3} : - \frac{15 n ^{7} v ^{3}}{2}

化简

\frac{10 !}{4 ! ( 10 - 4 ) !} (\frac{1}{2} n)^{6} (- 2 v)^{4} : \frac{105 n ^{6} v ^{4}}{2}

化简

\frac{10 !}{5 ! ( 10 - 5 ) !} (\frac{1}{2} n)^{5} (- 2 v)^{5} : - 252 n^{5} v^{5}

化简

\frac{10 !}{6 ! ( 10 - 6 ) !} (\frac{1}{2} n)^{4} (- 2 v)^{6} : 840 n^{4} v^{6}

化简

\frac{10 !}{7 ! ( 10 - 7 ) !} (\frac{1}{2} n)^{3} (- 2 v)^{7} : - 1920 n^{3} v^{7}

化简

\frac{10 !}{8 ! ( 10 - 8 ) !} (\frac{1}{2} n)^{2} (- 2 v)^{8} : 2880 n^{2} v^{8}

化简

\frac{10 !}{9 ! ( 10 - 9 ) !} (\frac{1}{2} n)^{1} (- 2 v)^{9} : - 2560 n v^{9}

化简

\frac{10 !}{10 ! ( 10 - 10 ) !} (\frac{1}{2} n)^{0} (- 2 v)^{10} : 1024 v^{10}

= \frac{n ^{10}}{1024} - \frac{5 n ^{9} v}{128} + \frac{45 n ^{8} v ^{2}}{64} - \frac{15 n ^{7} v ^{3}}{2} + \frac{105 n ^{6} v ^{4}}{2} - 252 n^{5} v^{5} + 840 n^{4} v^{6} - 1920 n^{3} v^{7} + 2880 n^{2} v^{8} - 2560 n v^{9} + 1024 v^{10}

合并

\frac{n ^{10}}{1024} - \frac{5 n ^{9} v}{128} + \frac{45 n ^{8} v ^{2}}{64} - \frac{15 n ^{7} v ^{3}}{2} + \frac{105 n ^{6} v ^{4}}{2} - 252 n^{5} v^{5} + 840 n^{4} v^{6} - 1920 n^{3} v^{7} + 2880 n^{2} v^{8} - 2560 n v^{9} + 1024 v^{10} : \frac{n ^{10}}{1024} - \frac{5 n ^{9} v}{128} + \frac{45 n ^{8} v ^{2}}{64} + \frac{- 15 n ^{7} v ^{3} + 105 n ^{6} v ^{4}}{2} - 252 n^{5} v^{5} + 840 n^{4} v^{6} - 1920 n^{3} v^{7} + 2880 n^{2} v^{8} - 2560 n v^{9} + 1024 v^{10}

= \frac{n ^{10}}{1024} - \frac{5 n ^{9} v}{128} + \frac{45 n ^{8} v ^{2}}{64} + \frac{- 15 n ^{7} v ^{3} + 105 n ^{6} v ^{4}}{2} - 252 n^{5} v^{5} + 840 n^{4} v^{6} - 1920 n^{3} v^{7} + 2880 n^{2} v^{8} - 2560 n v^{9} + 1024 v^{10}

流行的例子

展开 (-x^2+2x+8)/((x^2+3x+5)^2)

e x p an d \frac{- x ^{2} + 2 x + 8}{( x ^{2} + 3 x + 5 ) ^{2}}

展开 (-3+2s)/(s^2(s^2-9))

e x p an d \frac{- 3 + 2 s}{s ^{2} ( s ^{2} - 9 )}

展开 (x^2-2/x)^{10}

e x p an d (x^{2} - \frac{2}{x})^{10}

展开-pisin(pit)cos(pit)+e^t(3e^t+7)

e x p an d - π sin (π t) cos (π t) + e^{t} (3 e^{t} + 7)

展开 (x-4)(6-sqrt(7))(6+sqrt(7))

e x p an d (x - 4) (6 - 7) (6 + 7)